Пусть $I$ – инцентр, а $Z$ – центроид произвольного треугольника $ABC$. Тогда $$IZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r^2-3p^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$$

По теореме Лейбница: $IA^2+IB^2+IC^2 = 3IZ^2+(AZ^2+BZ^2+CZ^2)$

$IA^2+IB^2+IC^2 = 3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$r^2+(p-a)^2+r^2+(p-b)^2+r^2+(p-c)^2=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r^2+p^2-2ap+a^2+p^2-2pb+b^2+p^2-2pc+c^2=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r^2+3p^2-2ap-2pb-2pc+(a^2+b^2+c^2)=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r^2+3p^2-2p(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r^2+3p^2-2p\cdot 2p+(a^2+b^2+c^2)=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r^2-p^2+\dfrac23 (a^2+b^2+c^2)=3IZ^2$

$r^2-\dfrac13 p^2+\dfrac29 (a^2+b^2+c^2)=IZ^2$

$IZ^2 = \sqrt{r^2-\dfrac13 p^2+\dfrac29 (a^2+b^2+c^2)}$

$IZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r^2-3p^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$

Пусть $I_a$ – эксцентр, а $Z$ – центроид произвольного треугольника $ABC$. Тогда $$I_aZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r_a^2-3(p-a)^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$$

По теореме Лейбница: $I_aA^2+I_aB^2+I_aC^2 = 3I_aZ^2+(AZ^2+BZ^2+CZ^2)$

$I_aA^2+I_aB^2+I_aC^2 = 3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$r_a^2+p^2+r_a^2+(p-b)^2+r_a^2+(p-c)^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+p^2+p^2-2pb+b^2+p^2-2pc+c^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+3p^2-2pb-2pc+(b^2+c^2)=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+3p^2-2p(b+c)+(b^2+c^2)=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+3p^2-2p(a+b+c)+2pa+(a^2+b^2+c^2)-a^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+3p^2-4p^2+(a^2+b^2+c^2)+2pa-a^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+(a^2+b^2+c^2)-p^2+2pa-a^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+(a^2+b^2+c^2)-(p-a)^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2-(p-a)^2+\dfrac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)=3I_aZ^2$

$I_aZ^2 = \sqrt{r_a^2-\dfrac13 (p-a)^2+\dfrac29 (a^2+b^2+c^2)}$

$I_aZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r_a^2-3(p-a)^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$