1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Проведем в параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$.

По определению параллелограмма $AB\parallel CD$ и $BC\parallel AD$.

Следовательно, $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$.

Тогда треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по второму признаку равенства ($AC$ – общая).

Следовательно, $AB=CD, BC=AD$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$.

По определению параллелограмма $AB\parallel CD$, следовательно, $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, как накрест лежащие.

Кроме того $AB=CD$ по первому пункту теоремы, следовательно, $\triangle ABO=\triangle CDO$.

Из равенства этих треугольников следует, что $AO=OC$ и $BO=OD$.

Полезно иметь ввиду, что

1. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
2. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников.