Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.
Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.
Построим прямоугольный треугольник $ABC$, у которого $AC=1$ и $\angle A=\alpha$.
Тогда другой его катет $BC=\tg{\alpha}$.
Когда угол $\alpha$ возрастает от $0^\circ$ до $90^\circ$ катет $BC$, а значит и $\tg{\alpha}$, возрастает от $0$ до бесконечности.
$$\tg{(180^\circ-\alpha)}=\dfrac{\sin{(180^\circ-\alpha)}}{\cos{(180^\circ-\alpha)}}=\dfrac{\sin{\alpha}}{-\cos{\alpha}}=-\tg{\alpha}.$$
Пусть углы $\alpha$ и $\beta$ – острые.
Докажем, что если $\tg{\alpha}=\tg{\beta}$, то $\alpha=\beta$.
Действительно, возможно три случая: