| Номер | Условие | Ответ |
|---|---|---|
| 1. (ЗПМ, 2.635а) | Три цистерны одинакового объема начинают одновременно заполняться водой, причем в первую цистерну поступает $100$ л воды в минуту, во вторую – $60$ л и в третью – $80$ л. Известно, что в начальный момент времени первая цистерна пуста, вторая и третья частично заполнены и что все три цистерны будут заполнены одновременно. Во сколько раз количество воды в начальный момент времени во второй цистерне больше, чем в третьей? | В $2$ раза |
| 2. (ЗПМ, 2.635б) | Три цистерны одинакового объёма начинают одновременно заполняться водой, причем в первую цистерну поступает $120$ л воды в минуту, а во второю – $40$ л. Известно, что в начальный момент времени первая цистерна пуста, а объем воды в третьей цистерне в $2$ раза меньше, чем во второй, и что все три цистерны будут заполнены одновременно. Сколько литров воды поступает в одну минуту в третью цистерну? | $80$ л |
| 3. (ЗПМ, 2.636а) | Из пункта $A$ по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему из пункта $B$, расположенного ниже по течению относительно пункта $A$, отправляется катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению. Какую часть пути от $A$ до $B$ пройдёт плот к моменту возвращения катера в пункт $B$, если скорость катера в стоячей воде в $4$ раза больше скорости течения реки? | $0,4$ пути |
| 4. (ЗПМ, 2.636б) | Из пункта $A$ по реке отправляется плот. Через час из пункта $A$ вниз по течению отправляется катер. Найдите время, требующееся катеру, чтобы догнать плот и возвратиться в пункт $A$, если скорость катера в стоячей воде вдвое больше скорости течения реки. | $2$ ч. |
| 5. (ЗПМ, 2.637а) | Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на $4$ ч быстрее товарного и на $1$ ч быстрее пассажирского. Найдите скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного составляет $0, 625$ от скорости пассажирского и на $50$ км/ч меньше скорости скорого. | $50$ км/ч |
| 6. (ЗПМ, 2.637б) | Строительство туннеля велось в три смены с одинаковым планом проходки на каждую смену. Скорость проходки во вторую смену была в $1,2$ раза больше, чем в первую, а в третью смену возросла на $0,6$ м/ч по сравнению со второй. Вторая смена выполнила план проходки на $1$ ч быстрее, чем первая, а третья смена выполнила половину плана на $3$ ч быстрее, чем вторая смена весь план. Определите скорость проходки туннеля в первую смену. | $2$ м/ч |
| 7. (ЗПМ, 2.638а) | Каждый из рабочих должен был изготовить $36$ одинаковых деталей. Первый рабочий приступил к выполнению своего задания на $4$ мин позже второго, но $\frac{1}{3}$ задания они выполнили одновременно. Полностью выполнив свое задание, первый рабочий после двухминутного перерыва снова приступил к работе и к моменту выполнения задания вторым рабочим изготовил ещё две детали. Сколько деталей в час изготавливал каждый рабочий? | $20$ дет./ч и $18$ дет./ч |
| 8. (ЗПМ, 2.638б) | В водохранилище (скоростью течения можно пренебречь) из пункта $A$ в пункт $B$ отправляется теплоход. Через $4$ мин следом за ним оправляется «ракета» на подводных крыльях, которая догоняет теплоход на расстоянии $2$ км от пункта $A$. Дойдя до пункта $B$, находящегося на расстоянии $19,5$ км от пункта $A$, и простояв там $15$ мин «ракета» отправляется обратно и встречает теплоход в $5$ км от пункта $B$. Определите скорости теплохода и «ракеты». | $20$ км/ч и $60$ км/ч |
| 9. (ЗПМ, 2.639а) | Два трактора разной мощности, работая одновременно, вспахали поле за $2$ ч $40$ мин. Если бы первый трактор увеличил скорость вспашки в $2$ раза, а второй – в $1,5$ раза, то поле было бы вспахано за $1$ ч $36$ мин. За какое время вспахал бы поле первый трактор, работая с первоначальной скоростью? | $8$ ч |
| 10. (ЗПМ, 2.639б) | При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за $8$ ч. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в $1,2$ раза, а второго – в $1,6$ раза, и при одновременной работе обоих насосов бассейн стал наполняться за $6$ ч. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта? | $10$ ч |
| 11. (ЗПМ, 2.640а) | Четыре одинаковых насоса, работая вместе, наполнили нефтью первый танкер и треть второго танкера (другого объема) за $11$ ч. Если бы $3$ насоса наполнили первый танкер, а затем один из них наполнил четверть второго танкера, то работа заняла бы $18$ ч. За сколько часов $3$ насоса могут наполнить второй танкер? | $8$ ч |
| 12. (ЗПМ, 2.640б) | Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали первое поле, а затем $2$ из них убрали второе поле (другой площади). Вся работа заняла $12$ ч. Если бы $3$ комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал один из них, то работа заняла бы $20$ ч. За какое время $2$ комбайна могут убрать первое поле? | $9$ ч |
| 13. (ЗПМ, 2.641а) | Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причем первый каменщик работал $6$ ч, второй – $4$ ч, а третий – $7$ ч. Если бы первый каменщик работал $4$ ч, второй – $2$ ч и третий $5$ ч, то было бы выполнено $\dfrac{2}{3}$ всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали все вместе одно и тоже время. | $6$ ч |
| 14. (ЗПМ, 2.641б) | Три бригады вспахали два поля общей площадью $96$ га. Первое поле было вспахано за $3$ дня, причем все три бригады работали вместе. Второе поле было вспахано за $6$ дней второй и третьей бригадами. Если бы все три бригады проработали на втором поле $1$ день, то оставшуюся часть второго поля первая бригада могла вспахать за $8$ дней. Сколько гектаров в день вспахивает первая бригада? | $5$ га |
| 15. (ЗПМ, 2.642а) | Два туриста отправились одновременно из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми $33$ км, навстречу друг другу. Через $3$ ч $12$ мин расстояние между ними сократилось до $1$ км (они еще не встретились), а еще через $2$ ч $18$ мин первому осталось пройти до $B$ втрое большее расстояние, чем второму до $A$. Найдите скорости туристов. | $4,5$ км/ч и $5,5$ км/ч |
| 16. (ЗПМ, 2.642б) | Из городов $M$ и $N$, расстояние между которыми $70$ км, одновременно выехали навстречу друг другу автобус и велосипедист и встретились через $1$ ч $24$ мин. Продолжая движение с той же скоростью, автобус прибыл в $N$ и после $20$-минутной стоянки отправился в обратный рейс. Найдите скорости автобуса и велосипедиста, зная, что автобус обогнал велосипедиста через $2$ ч $41$ мин после первой встречи. | $35$ км/ч и $15$ км/ч |
| 17. (ЗПМ, 2.643а) | Пешеход вышел из пункта $A$ в пункт $B$. Через $\dfrac{3}{4}$ ч из $A$ в $B$ выехал велосипедист. Когда велосипедист прибыл в пункт $B$, пешеходу оставалось пройти $\dfrac{3}{8}$ всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если известно, что велосипедист догнал пешехода на половине пути из пункта $A$ в пункт $B$, а скорости велосипедиста и пешехода постоянны? | $2$ ч |
| 18. (ЗПМ, 2.643б) | Теплоход отплыл из порта $A$ в порт $B$. Через $7,5$ ч вслед за ним из порта $A$ вышел катер. На половине пути от $A$ до $B$ катер догнал теплоход. Когда катер прибыл в $B$, теплоходу осталось плыть $0,3$ всего пути. Сколько времени потребовалось теплоходу на весь путь от $A$ до $B$, если скорости катера и теплохода постоянны на протяжении всего плавания? | $25$ ч |
| 19. (ЗПМ, 2.644а) | Легковой автомобиль и грузовик испытали на проселочной дороге. При этом легковой автомобиль проехал на $12$ км больше, чем грузовик, но бензин у него кончился на $0,5$ ч раньше. Какая автомашина проедет дальше и на сколько при той же заправке бензином по асфальтовой дороге, если скорость на асфальте у каждой из них на $16$ км/ч больше, чем на проселочной (время расхода бензина не зависит от качества дороги)? | Легковая на $4$ км дальше |
| 20. (ЗПМ, 2.644б) | Велосипедист встретил колонну автомашин и остановился, когда поравнялся с двадцать первой автомашиной. В этот момент из этой точки в одном направлении с колонной поехал мотоциклист со скоростью в $2$ раза большей, чем скорость велосипедиста. Когда мотоциклист прибыл в точку, где начинал движение велосипедист, он обогнал $4$ автомобиля и сравнялся с пятым. Сколько автомобилей насчитал бы велосипедист на том же участке дороги, если бы он встретил стоящую колонну (интервалы между автомашинами равны)? | $11$ машин |
| 21. (ЗПМ, 2.645а) | Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми равно $70$ км, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист, двигавшийся со скоростью $50$ км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста на расстоянии $20$ км от пункта $A$. Прибыв в пункт $B$, мотоциклист через $48$ мин выехал обратно в пункт $A$ и встретился с велосипедистом спустя $2$ ч $40$ мин после выезда велосипедиста из пункта $A$. Найдите скорость велосипедиста. | $25$ км/ч |
| 22. (ЗПМ, 2.645б) | Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в $2$ мин. Второй бегун догнал первого на расстоянии $1$ км от точки старта, а пробежав от точки старта $5$ км, он повернул обратно и встретился с первым бегуном. Эта встреча произошла через $20$ мин после старта первого бегуна. Найдите скорость второго бегуна. | $20$ км/ч |
| 23. (ЗПМ, 2.646а) | Из бутыли, наполненной $12$%-ным раствором соли, отлили $1$ л и долили бутыль водой, затем отлили еще литр и опять долили водой. В бутыли оказался $3$%-ный раствор соли. Какова вместимость бутыли? | $2$ л |
| 24. (ЗПМ, 2.646б) | Фляга наполнена $96$%-ным раствором соляной кислоты. Из нее отлили $12$ л кислоты и дополнили флягу водой. Затем из фляги отлили еще $18$ л и снова дополнили ее водой, после чего концентрация кислоты во фляге составила $32$%. Найдите объем фляги. | $36$ л |
| 25. (ЗПМ, 2.647а) | Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми $20$ км, выехал велосипедист, а через $15$ мин вслед за ним со скоростью $15$ км/ч отправился другой велосипедист, который, догнав первого, повернул назад и возвратился в $A$ за $45$ мин до прибытия первого велосипедиста в $B$. Найдите скорость первого велосипедиста. | $10$ км/ч |
| 26. (ЗПМ, 2.647б) | Из $M$ в $N$ одновременно отправились автобус и автомобиль. Прибыв в $N$, автомобиль повернул назад и встретил автобус через $3$ ч после отправления из $M$. Продолжая движение, автомобиль прибыл в $M$ на $1$ ч $15$ мин позже, чем автобус в $N$. Зная, что скорость автобуса равна $48$ км/ч, найдите расстояние $MN$ и скорость автомобиля. | $180$ км, $72$ км/ч |
| 27. (ЗПМ, 2.648а) | Из городов $A$ и $B$ навстречу друг другу одновременно вышли два товарных поезда. Они двигались без остановки, встретились через $24$ ч после начала движения и продолжили свой путь, причем первый поезд прибыл в пункт $B$ на $20$ ч позднее, чем второй поезд прибыл в $A$. Сколько времени был в пути первый поезд? | $60$ ч |
| 28. (ЗПМ, 2.648б) | Из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Они встретились через $4$ ч после начала движения, продолжили свой путь, и легковой автомобиль прибыл в $A$ на $6$ ч раньше, чем грузовой в $B$. Сколько часов в пути был грузовой автомобиль? | $12$ ч |
| 29. (ЗПМ, 2.649а) | Два экскаватора должны вырыть $3$ одинаковых котлована. Если они будут работать вместе, то выроют их за $2$ дня. Первый экскаватор может вырыть один такой котлован на день быстрее второго. В один из дней первый экскаватор работал полдня, а второй работал весь день. Какая часть всей работы была выполнена за этот день? | $\dfrac{1}{3}$ |
| 30. (ЗПМ, 2.649б) | Если идти шагом по поднимающемуся эскалатору, то можно подняться на $10$ с раньше, чем стоя на нем. Если же не идти, а бежать вверх, то можно выиграть еще $5$ с. Пассажир, стоя на эскалаторе, поднялся на половину высоты эскалатора, после чего последний остановился. Вторую половину подъема пассажир прошел шагом. Сколько времени занял у него весь подъем, если известно, что человек бегает в $2$ раза быстрее, чем ходит? | $45$ c |
| 31. (ЗПМ, 2.650а) | Из пункта $A$ в пункт $C$, находящийся на расстоянии $20$ км от $A$, выехал грузовик. Одновременно с ним из пункта $B$, расположенного между $A$ и $C$ на расстоянии $15$ км от $A$, в пункт $C$ вышел пешеход, а из $C$ навстречу им выехал автобус. За какое время грузовик догнал пешехода, если известно, что это произошло через полчаса после встречи грузовика с автобусом, а пешеход до встречи с автобусом находился в пути втрое меньше времени, чем грузовик до своей встречи с автобусом? | $45$ мин |
| 32. (ЗПМ, 2.650б) | Из пункта $A$ в пункт $C$, находящийся на расстоянии $80$ км от $A$, выехал мотоциклист. Навстречу ему и одновременно с ним из пункта $B$, находящегося между $A$ и $C$ на расстоянии $5$ км от $C$, выехал велосипедист, а из пункта $C$ — автомобиль. Через какое время встретились мотоциклист и велосипедист, если известно, что это произошло через $20$ мин после того, как автомобиль догнал велосипедиста, а мотоциклист до встречи с автомобилем провел в пути вдвое больше времени, чем велосипедист до того, как его догнал автомобиль? | $\dfrac{5}{8}$ ч |
| 33. (ЗПМ, 2.651а) | Три гонщика $A$, $B$ и $C$, стартовав одновременно, движутся с постоянными скоростями в одном направлении по кольцевому шоссе. В момент старта гонщик $B$ находится перед гонщиком $A$ на расстоянии $\dfrac{1}{3}$ длины шоссе, а гонщик $C$ перед гонщиком $B$ на таком же расстоянии. Гонщик $A$ впервые догнал $B$ в тот момент, когда $B$ закончил свой первый круг, а еще через $10$ мин $A$ впервые догнал гонщика $C$. Гонщик $B$ тратит на круг на $2,5$ мин меньше, чем гонщик $C$. Сколько времени тратит на круг гонщик $A$? | $15$ мин |
| 34. (ЗПМ, 2.651б) | Три гонщика стартуют одновременно из одной точки шоссе, имеющего форму окружности, и едут в одном направлении с постоянными скоростями. Первый гонщик впервые после старта догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной старту, а еще через полчаса после этого он вторично (не считая момента старта) обогнал третьего гонщика. Второй гонщик впервые догнал третьего через $3$ ч после старта. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй гонщик проходил круг не менее чем за $20$ мин? | $3$ круга |
| 35. (ЗПМ, 2.652а) | От пристани $A$ вниз по течению реки одновременно отошли плот и катер (скорость течения постоянна; скорость катера относительно воды постоянна; скорость плота относительно воды равна нулю). Катер доплыл до пристани $B$, вернулся к пристани $A$ и снова отплыл к пристани $B$ (без остановок). К пристани $B$ плот и катер причалили одновременно, а встретились они на расстоянии $3$ км от пристани $A$. Определите скорость течения реки, если известно, что на путь от пристани $A$ до пристани $B$ катер тратил на полчаса меньше времени, чем на путь от $B$ до $A$. | $3$ км/ч |
| 36. (ЗПМ, 2.652б) | От пристани $A$ к пристани $B$ против течения реки отошел катер, собственная скорость которого (скорость в стоячей воде) в $7$ раз больше скорости течения реки. Одновременно навстречу ему от пристани $B$, расстояние от которой до $A$ по реке равно $20$ км, отошла лодка. На каком расстоянии от $B$ произошла встреча катера с лодкой, если известно, что через полчаса после начала движения лодке оставалось проплыть $4$ км до места встречи и что катер затратил на путь до встречи с лодкой на $20$ мин больше, чем на путь от места встречи до пункта $B$? | $8$ км |
| 37. (ЗПМ, 2.653а) | Два поезда выехали одновременно в одном направлении из городов $A$ и $B$, расположенных на расстоянии $60$ км друг от друга, и одновременно прибыли на станцию $C$. Если бы один из них увеличил скорость на $25$ км/ч, а другой — на $20$ км/ч, то они прибыли бы так же одновременно на станцию $C$, но на $2$ ч раньше. Найдите скорости поездов. | $50$ км/ч и $40$ км/ч |
| 38. (ЗПМ, 2.653б) | Два поезда выехали одновременно в одном направлении из городов $A$ и $B$, расположенных на расстоянии $120$ км друг от друга, и одновременно прибыли на станцию $C$. Если бы один из них уменьшил свою скорость на $12$ км/ч, а другой — на $9$ км/ч, то они прибыли бы так же одновременно на станцию $C$, но на $2$ ч позже. Найдите скорости поездов. | $60$ км/ч и $45$ км/ч |
| 39. (ЗПМ, 2.654а) | Из пункта $A$ по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет $\dfrac{6}{5}$ скорости грузовика. Через $30$ мин за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью $90$ км/ч. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на час раньше, чем легковой автомобиль. | $72$ км/ч |
| 40. (ЗПМ, 2.654б) | Два лыжника вышли с линии старта одновременно с постоянными скоростями по одному и тому же маршруту, $7$ причем скорость первого лыжника составила $\dfrac{7}{6}$ скорости второго. Вслед за ними через $20$ мин отправился третий лыжник, который, двигаясь со скоростью $18$ км/ч, догнал второго лыжника на $30$ мин раньше, чем первого. Какова скорость первого лыжника? | $14$ км/ч |
| 41. (ЗПМ, 2.655а) | Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют разную производительность. Производительность всех трех одновременно работающих линий в $1,5$ раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно. Сменное задание для первой линии вторая и третья линии, работая вместе, могут выполнить на $4$ ч $48$ мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это же задание вторая линия выполняет на $2$ ч быстрее по сравнению с первой линией. Найдите время выполнения первой линией своего сменного задания. | $8$ ч |
| 42. (ЗПМ, 2.655б) | Двум токарям и ученику поручили выполнение срочной работы. Первый токарь может выполнить всю работу за время на $3$ ч большее, чем то, за которое ее выполнят второй токарь и ученик, работая одновременно. Второй токарь, работая один может выполнить всю работу за то же время, за которое ее выполняют первый токарь и ученик, работая одновременно. Время, затрачиваемое вторым токарем на самостоятельное выполнение всей работы, на $8$ ч меньше удвоенного времени, затрачиваемого первым токарем на самостоятельное выполнение всей работы. За какое время будет выполнена вся работа двумя токарями и учеником, работающими одновременно? | $2$ ч |
| 43. (ЗПМ, 2.656а) | Сплавлено $40$ г золота одной пробы и $60$ г золота другой пробы и получено золото $62$-й пробы. Какой пробы было золото первого и второго слитков, если при сплаве их поровну получается золото $61$-й пробы? | $56$-й и $66$-й проб |
| 44. (ЗПМ, 2.656б) | Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в $5$% и $40$%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить $140$ т стали с содержанием никеля в $30$%? | $40$ т и $100$ т |
| 45. (ЗПМ, 2.657а) | Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит $40$% олова, а второй — $26$% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаковое. Сплавив $150$ кг первого сплава и $250$ кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось $30$% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве. | $170$ кг |
| 46. (ЗПМ, 2.657б) | Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит $25$% цинка, а второй — $50$% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в $2$ раза выше, чем во втором. Сплавив $200$ кг первого сплава и $300$ кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось $28$% цинка. Определите, сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве. | $220$ кг |
| 47. (ЗПМ, 2.658а) | Две машинистки, работая вместе, печатают в час $44$ страницы текста. Первые $25$% двухсотстраничной рукописи печатала первая машинистка, затем к ней присоединилась вторая, а последние $20$% текста печатала только вторая машинистка. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка, если на перепечатывание всей рукописи ушло $6$ ч $40$ мин, а первая машинистка работает быстрее второй? | $26,4$ стр./ч и $17,6$ стр./ч |
| 48. (ЗПМ, 2.658б) | Два экскаватора выкопали котлован объемом $2000$ м3. Сначала первый экскаватор, работая в одиночку, выполнил $20$% всей работы; затем его сменил второй и выполнил еще $30$% от всего объема работы. На первую половину работы ушло на $25$ ч больше, чем на вторую, когда экскаваторы работали вместе. Какой объем грунта каждый экскаватор выбирает за $1$ ч, если вдвоем они выбирают $100$ м3, а производительность первого выше, чем второго? | $80$ куб.м/ч и $20$ куб.м/ч |
| 49. (ЗПМ, 2.659а) | После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается $7$ и в остатке $6$. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается $3$ и в остатке $11$. Найдите это двузначное число. | $83$ |
| 50. (ЗПМ, 2.659б) | Сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа на $1$ больше утроенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается $7$ и в остатке $6$. Найдите это двузначное число. | $83$ |
| 51. (Лейбсон 8, 1063) | На середине пути между станциями $A$ и $B$ поезд был задержан на $10$ мин. Чтобы прибыть в $B$ по расписанию, машинисту пришлось первоначальную скорость поезда увеличить на $12$ км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда, если известно, что, расстояние между станциями равно $120$ км. | |
| 52. (Лейбсон 8, 1064) | Расстояние в $400$ км скорый поезд прошел на час быстрее товару кого. Какова скорость каждого поезда, если скорость движении товарного поезда на $20$ км/ч меньше, чем скорого? | $100$ км\ч. |
| 53. (Лейбсон 8, 1065) | Поезд должен был пройти $54$ км. Пройдя $14$ км, он был задержан у семафора на $10$ мин. Увеличив скорость после этого на $10$ км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на $2$ мин. Определите первоначальную скорость поезда. | |
| 54. (Лейбсон 8, 1066) | Прогулочный теплоход отправился от пристани $A$ к пристани $B$ вниз по течению реки. После получасовой стоянки теплоход отправился обратно и через $8$ ч после отплытия из $A$ вернулся на эту же пристань. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $36$ км, а скорость течения реки $2$ км/ч? | $10$ км/ч. |
| 55. (Лейбсон 8, 1067) | Расстояние в $30$ км один из двух лыжников прошел на $20$ мин быстрее другого. Скорость первого лыжника была на $3$ км/ч. больше скорости второго. Какова скорость каждого лыжника? | |
| 56. (Лейбсон 8, 1068) | Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов $A$ и $B$, расстояние между которыми $20$ км, и встречаются через час после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в $A$ на $З$ ч $45$ мин раньше, чем пешеход в $B$. Найдите скорости пешехода и велосипедиста. | |
| 57. (Лейбсон 8, 1069) | Из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми $110$ км, на машине отправился курьер. Через $0,2$ ч после этого вслед за ним выехал мотоциклист, который, догнав курьера и передав ему дополнительное поручение, немедленно с той же скоростью двинулся обратно и возвратился в $A$ в тот момент, когда курьер прибыл в $B$. Какова скорость курьера, если скорость мотоциклиста равна $60$ км/ч? | $50$ км/ч. |
| 58. (Лейбсон 8, 1070) | Турист проплыл на байдарке $15$ км против течения реки и $14$ км по течению, затратив на все путешествие столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть в стоячей воде $30$ км. Зная, что скорость течения реки равна $1$ км/ч, найдите скорость байдарки в стоячей воде. | $6$ км/ч. |
| 59. (Лейбсон 8, 1071) | Катер прошел $8$ км по течению реки и $16$ км против течения, затратив на весь путь $1\dfrac{1}{3}$ ч. Какова скорость катера по течению, если собственная скорость катера равна $20$ км/ч? | |
| 60. (Лейбсон 8, 1072) | С двух аэродромов $A$ и $B$, расстояние между которыми $500$ км, вылетают одновременно навстречу друг другу два учебных вертолета. Через $1$ ч $20$ мин после их встречи вертолет, поднявшийся с аэродрома $A$, садится на аэродром $B$, а второй вертолет через $3$ ч, после встречи садится на аэродром $A$. Определите скорости вертолетов. | |
| 61. (Лейбсон 8, 1073) | Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал мотоцикл. Через $2$ ч из $A$ в $B$ выехал автомобиль, который прибыл в $B$ одновременно с мотоциклом. Если бы автомобиль и мотоцикл одновременно выехали из $A$ и $B$ навстречу друг другу, то они встретились бы через $1$ ч $20$ мин после выезда. Сколько времени провел в пути из $A$ в $B$ мотоцикл, если скорости автомобиля и мотоцикла постоянные? | $4$ км/ч. |
| 62. (Лейбсон 8, 1074) | При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за $2$ ч $55$ мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каждый насос, работая отдельно, если один из них может эту работу выполнить на $2$ ч быстрее другого? | |
| 63. (Лейбсон 8, 1075) | За четыре дня совместной работы двух тракторов различной $N$ мощности было вспахано в $\dfrac{2}{3}$ поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно, если первым трактором это можно сделать на $5$ дней быстрее, чем вторым? | $10$; $15$ |
| 64. (Лейбсон 8, 1076) | Первая машинистка напечатала $320$ страниц, а вторая — $270$ страниц. Первая машинистка печатала в день на $2$ страницам меньше, чем вторая, и работала на $5$ дней больше, чем вторая. Сколько страниц в день печатала первая машинистка? | |
| 65. (Лейбсон 8, 1077) | Груз массой $30$ т предполагалось перевезти машиной за несколько рейсов. Однако для перевозки пришлось использовать машину, грузоподъемность которой на $2$ т больше, чем предполагалось. Поэтому было сделано на $4$ рейса меньше, чем намечалось. За сколько рейсов был перевезен груз? | $6$ |
| 66. (Лейбсон 8, 1078) | Завод по плану должен был изготовить $800$ деталей к определенному сроку. Перевыполняя дневную норму на $20$ деталей, завод выполнил задание на $2$ дня раньше срока. За сколько дней завод выполнил план? | |
| 67. (Лейбсон 8, 1079) | Для штамповки одинаковых деталей было выделено два станка-автомата. Первый автомат изготовил $160$ деталей. Второй автомат, изготовляя в час на $3$ детали меньше первого и работая на $6$ ч больше первого, сделал $130$ деталей. Сколько деталей в час изготавливал каждый станок? | |
| 68. (Лейбсон 8, 1080) | Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за $6$ ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на $5$ ч быстрее, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один? | $10$ ч. |
| 69. (Лейбсон 8, 1081) | Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за два часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на $3$ ч быстрее, чем вторая? | |
| 70. (Лейбсон 8, 1082) | На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на $1$ мин меньше, чем второй. Сколько деталей обрабатывает каждый рабочий за $0,5$ ч, если первый обрабатывает за это время на одну деталь больше, чем второй? | |
| 71. (Лейбсон 8, 1083) | В бассейн для наполнения его водой проведены три трубы. Первая и вторая вместе наполняют его за $1,2$ ч, вторая и третья - за $2$ ч, а первая и третья – за $1$ ч $30$ мин. За сколько времени наполнится бассейн, если открыть все три трубы? | |
| 72. (Лейбсон 8, 1084) | Стороны двух квадратов пропорциональны числам $5$ и $4$ Если стороны каждого из квадратов уменьшить на $2$ см то разность площадей полученных квадратов будет равна $28$ см2. Найдите стороны данный квадратов. | $10$ см; $8$ см. |
| 73. (Лейбсон 8, 1085) | Площадь прямоугольника равна $36$ м2. Если его длину увеличить на $6$ м, а ширину уменьшить на $1$ м, от получится прямоугольник, площадь которого равна $60$ м2. Найдите длину полученного прямоугольника. | |
| 74. (Лейбсон 8, 1086) | Для приобретения спортивной формы двум командам было выделено по $840$ р. Одна команда купила на один комплект больше другой, так как каждый комплект, купленный ею, стоил на $20$ р. дешевле. Сколько комплектов формы купила каждая команда? | |
| 75. (Лейбсон 8, 1087) | После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов стоимость товара с $40$ р. снизилась до $32$ р $40$ к. На сколько процентов снижалась стоимость товара каждый раз? | |
| 76. (Лейбсон 8, 1088) | Имелось два сплава, содержащих медь. В первом сплаве меди было $16$ кг, а во втором $12$ кг. Процентное содержание меди в первом сплаве было на $40$% меньше, чем во втором. После того как их сплавили вместе, получился новый сплав, содержащий $12(4)$% меди. Найдите массу каждого сплава. | |
| 77. (Лейбсон 8, 1089) | Сосуд емкостью $20$ л наполнен обезвоженной кислотой. Часть этой кислоты отлили, а сосуд долили водой. Затем снова отлили столько жидкости, сколько в первый раз кислоты, и сосуд опять долили водой. После этого в полученном растворе оказалось кислоты втрое меньше, чем воды. Сколько кислоты отлили из сосуда в первый раз? | $10$ л. |
| 78. (Лейбсон 8, 1090) | Смешивается некоторое количество $72$-процентного раствора кислоты в некоторое количество $58$-процентного раствора кислоты и в результате получается $62$-процентный раствор. Если бы каждого раствора было взято на $15$ л больше, то получился бы $63,25$-процентный раствор. Сколько литров каждого раствора было взято первоначально для составления первой смеси? | |
| 79. (Лейбсон 8, 1091) | Два раствора, из которых первый содержит $0,8$ кг, а второй – $0,6$ кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили $10$ кг нового раствора серной кислоты. Найдите массу первого и второго растворов в смеси, если известно, что безводной серной кислоты в первом растворе было на $10$% больше. | |
| 80. (Лейбсон 8, 1092) | Произведение цифр двузначного числа в два раза больше суммы цифр этого числа. Если к искомому числу прибавить $27$, то получится число, записанное теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке. Найдите это число. | $36$ |
| 81. (Лейбсон 8, 1093) | Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится $3$, а в остатке $9$. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это число. | |
| 82. (Лейбсон 8, 1094) | Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке. Скорость каждого постоянна и на пробег всей дорожки один тратит на $5$ с меньше другого. Если они начинают пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через $30$ с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях? | $6$ с. |
| 83. (Лейбсон 8, 1095) | Из бака, наполненного чистым спиртом, вылили часть спирта и долили тем же количеством воды; потом из бака вылили столько же литров смеси; тогда в баке осталось $49$ л чистого спирта. Вместимость бака $64$ л. Сколько спирта вылили в первый и сколько во второй раз? | $8$ л; $7$ л. |
| 84. (Лейбсон 8, 1096) | Сосуд емкостью $20$ л наполнен спиртом. Из него выливают некоторое количество спирта в другой, равный ему, и, дополнив остальную часть второго сосуда водой, дополняют этой смесью первый сосуд. Затем из первого отливают $6\dfrac{2}{3}$ л во второй, после чего в обоих сосудах содержится одинаковое количество спирта. Сколько спирта первоначально отлито из первого сосуда во второй? | |
| 85. (Лейбсон 8, 1097) | На протяжении $18$ м переднее колесо экипажа делает на $10$ оборотов больше заднего. Если окружность переднего колеса увеличить на $6$ дм, то на том же протяжении переднее колесо сделает на $4$ оборота больше заднего. Найдите окружности обоих колес. | |
| 86. (Лейбсон 8, 1098) | Имелось два разных сплава меди. Содержание меди в первом сплаве было на $40$% меньше, чем во втором сплаве. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий $36$% меди. Определите процентное содержание меди в первом и во втором сплавах, если известно, что меди в первом сплаве было $6$ кг, а во втором $12$ кг. | $20%$; $60%$ |
| 87. (Лейбсон 8, 1099) | Знаменатель несократимой дроби на $2$ больше, чем числитель. Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на $3$ и вычесть из полученной дроби данную дробь, то получится $\dfrac{1}{15}$. Найдите данную дробь. | |
| 88. (Лейбсон 8, 1100) | Трасса велогонок представляет собой контур прямоугольного треугольника с разностью катетов в $2$ км. При этом его гипотенуза. пролегает по проселочной дороге, а оба катета по шоссе. Один из участников прошел отрезок по проселочной дороге со скоростью $30$ км/ч, а оба отрезка по шоссе за то же время со скоростью $42$ км/ч. Определите протяженность трассы. | $24$ км. |
| 89. (Лейбсон 8, 1101) | Трасса велогонок представляет собой контур прямоугольного треугольника с разностью катетов в $2$ км. При этом его гипотенуза. пролегает по проселочной дороге, а оба катета по шоссе. Один из участников прошел отрезок по проселочной дороге со скоростью $30$ км/ч, а оба отрезка по шоссе за то же время со скоростью $42$ км/ч. Определите протяженность трассы. | $3$ см/с; 5 см/с. |
| 90. (Лейбсон 8, 1102) | Два судна движутся прямолинейно и равномерно в один и тот же порт. В начальный момент времени положение судов и порта образует равносторонний треугольник. После того как второе судно прошло 80 км, указанный треугольник становится прямоугольным. В момент прибытия первого судна в порт второму остается пройти $120$ км. Найдите расстояние между суднами в начальный момент времени. | $240$ км. |
| 91. (Лейбсон 8, 1103) | Из морского порта одновременно отходят два парохода по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Спустя $0,5$ ч после отплытия пароходов кратчайшее расстояние между ними было $15$ км, а спустя еще $15$ мин оказалось, что один из пароходов был от пристани на $4,5$ км дальше другого. Найдите скорость каждого парохода. | $18$ км/ч; $24$ км/ч. |
| 92. (Лейбсон 8, 1104) | Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в $2$ мин. Второй бегун догнал первого на расстоянии $1$ км от точки старта, а пробежав от точки старта $5$ км, он повернул обратно и встретился с первым бегуном. Эта встреча произошла через $20$ мин после старта первого бегуна. Найдите скорость второго бегуна. | |
| 93. (Лейбсон 8, 1105) | На поле площадью $25$ га работали три сенокосилки. Первая из них за один час скашивает $3$ га, вторая на $b$ га меньше первой, а. третья - на $2b$ га больше первой. Сначала работали одновременно первая и вторая сенокосилки и скосили $11$ га, а затем оставшуюся часть площади скосили, работая одновременно, первая и третья сенокосилки. Определите значение $b$ $(0 < b < 1)$, при котором все поле скошено за $4$ ч, если работа велась без перерывов. | |
| 94. (Лейбсон 8, 1106) | В двух одинаковых сосудах объемом по $30$ л каждый содержится всего $30$ л спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый $12$ л новой смеси. Сколько спирта было первоначально в каждом сосуде, если во втором сосуде оказалось на $2$ л спирта меньше, чем в первом? | |
| 95. (Звавич, Рязановский 28.01.98) | Периметр прямоугольника $28$ см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна $116$ см2. Найдите стороны прямоугольника. | $10$ и $4$ |
| 96. (Звавич, Рязановский 28.02.98) | В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на $8$ см, а другой — на $4$ см. Найдите гипотенузу. | $20$ см. |
| 97. (Звавич, Рязановский 28.03.98) | Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на $307$. Найдите эти числа. | $17$ и $18$ |
| 98. (Звавич, Рязановский 28.04.98) | Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на $840$. Найдите эти числа. | $20$ и $21$ |
| 99. (Звавич, Рязановский 28.05.98) | В зрительном зале клуба $320$ мест. После того как число мест в каждом ряду увеличили на $4$ и добавили один ряд, в зале стало $420$ мест. Сколько рядов стало в зрительном зале клуба? | $21$ ряд |
| 100. (Звавич, Рязановский 28.06.98) | Велосипедист проехал $18$ км с определенной скоростью, а оставшиеся $6$ км со скоростью на $6$ км/ч меньше первоначальной. Найдите скорость велосипедиста на втором участке пути, если на весь путь он затратил $1,5$ ч. | $12$ км/ч. |