| Номер | Условие | Ответ |
|---|---|---|
| 201. (Галицкий, 10.53) | Три пловца должны проплыть из $A$ в $B$ и обратно. Сначала стартует первый, через $5$ с — второй, еще через $5$ с — третий. На пути от $A$ до $B$ все пловцы прошли некоторую точку $C$ одновременно. Третий пловец, доплыв до $B$ и сразу повернув назад, встречает второго в $9$ м от $B$, а первого в $15$ м от $B$. Найдите скорость третьего пловца, если расстояние между $A$ и $B$ равно $55$ м. | $1$ м/с. |
| 202. (Галицкий, 10.54) | От пристани $A$ вниз по реке, скорость течения которой равна $v$ км/ч, отходит плот. Через час вслед за ним выходит катер, скорость которого в стоячей воде равна $10$ км/ч. Догнав плот, катер возвращается обратно. Определите все те значения $v$, при которых к моменту возвращения катера в $A$ плот проходит более $15$ км. | $5<v<10$ км/ч. |
| 203. (Галицкий, 10.55) | Два судна двигаются прямолинейно и равномерно в один и тот же порт. В начальный момент времени положения судов и порта образуют равносторонний треугольник. После того как второе судно прошло $80$ км, указанный треугольник становится прямоугольным. В момент прибытия первого судна в порт второму остается пройти $120$ км. Найдите расстояние между судами в начальный момент времени. | $240$ км. |
| 204. (Галицкий, 10.56) | В реку впадает приток. Катер отходит от пристани $A$ на притоке, идет вниз по течению $80$ км до реки, далее по реке вверх против течения до пристани $B$, затратив $18$ ч на весь путь от $A$ до $B$. Затем катер возвращается обратно. Время обратного движения от $B$ до $A$ по тому же пути равно $15$ ч. Собственная скорость катера, т. е. скорость катера в стоячей воде, равна $18$ км/ч. Скорость течения реки равна $3$ км/ч. Каково расстояние от пристани $A$ до пристани $B$ и какова скорость течения притока? | $290$ км, $2$ км/ч. |
| 205. (Галицкий, 10.57) | В озеро впадают две реки. Лодка отплывает от пристани $A$ на первой реке, плывет $36$ км вниз по течению до озера, далее $19$ км по озеру (в озере нет течения) и $24$ км по второй реке вверх против течения до пристани $B$. На весь путь от $A$ до $B$ лодка затрачивает $8$ ч. Из них $2$ ч она плывет по озеру. Скорость течения первой реки на $1$ км/ч больше, чем скорость течения второй реки. Найдите скорость течения каждой реки. (Собственная скорость лодки постоянна.) | $2.5$ км/ч, $1.5$ км/ч. |
| 206. (Галицкий, 10.58) | От пристани $A$ вниз по течению реки одновременно отплыли теплоход и плот. Теплоход, доплыв до пристани $B$, расположенной в $324$ км от пристани $A$, простоял там $18$ ч и отправился обратно в $A$. В тот момент, когда он находился в $180$ км от $A$, второй теплоход, отплывший из $A$ на $40$ ч позднее первого, нагнал плот, успевший к этому времени проплыть $144$ км. Считая, что скорость течения реки постоянна, скорость плота равна скорости течения реки, а скорости теплоходов в стоячей воде постоянны и равны между собой, определите скорости теплоходов и скорость течения реки. | $15$ км/ч, $3$ км/ч. |
| 207. (Галицкий, 10.59) | Две точки $A$ и $B$ начинают одновременно сближаться по меньшей дуге окружности, равной $150$ м, и встречаются через $10$ с. Если же точки начнут двигаться по большей дуге, то они встретятся через $14$ с. Найдите длину окружности и скорости движения точек, если точка $A$ может пройти всю окружность за время, за которое точка $B$ пройдет $90$ м. | $360$ м, $12$ м/с, $3$ м/с. |
| 208. (Галицкий, 10.60) | Два тела движутся равномерно по окружности в одну сторону. Первое тело проходит окружность на $3$ с быстрее второго и догоняет второе тело каждые полторы минуты. За какое время каждое тело проходит окружность? | $15$ с, $18$ с. |
| 209. (Галицкий, 10.61) | Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые $3$ ч. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые $20$ мин. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль? | $36$ мин, $45$ мин. |
| 210. (Галицкий, 10.62) | Фрукты в магазин были доставлены двумя машинами, по $60$ ящиков в каждой; при этом в $21$ ящике были груши, а в остальных — яблоки. Сколько ящиков с грушами было в каждой машине, если известно, что в первой машине на один ящик с грушами приходилось в $3$ раза больше ящиков с яблоками, чем во второй? | $6$ ящиков, $15$ ящиков |
| 211. (Галицкий, 10.63) | \\На прокладке двух параллельных трубопроводов работали два экскаватора. Первый из них начал работать на $30$ мин раньше второго. Когда второй экскаватор прокопал $27$ м, оказалось, что он отстает от первого на $1$ м. С какой скоростью копали экскаваторы, если известно, что второй выкапывает в час на $4$ м больше, чем первый? | $14$ км/ч, 18 км/ч. |
| 212. (Галицкий, 10.64) | Двум землекопам было поручено вырыть канаву за $3$ ч $36$ мин. Однако первый приступил к работе тогда, когда второй уже вырыл треть канавы и перестал копать. В результате канава была вырыта за $8$ ч. За сколько часов каждый землекоп может вырыть канаву? | $9$ ч, $6$ ч. или $4$ ч. $48$ мин, $14$ ч. $24$ мин. |
| 213. (Галицкий, 10.65) | Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за $6$ ч. За какое время наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что в течение $1$ ч из первой трубы вытекает на $50$% больше воды, чем из второй? | $10$ ч, $15$ ч. |
| 214. (Галицкий, 10.66) | $60$ деталей первый рабочий изготавливает на $3$ ч быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит $90$ деталей, если, работая вместе, они изготавливают за $1$ ч $30$ деталей? | $9$ ч. |
| 215. (Галицкий, 10.67) | Две машинистки должны перепечатать рукопись, состоящую из трех глав, из которых первая вдвое короче второй и втрое длиннее третьей. Работая вместе, машинистки перепечатали первую главу за $3$ ч $36$ мин. Вторая глава была перепечатана за $8$ ч, из которых $2$ ч работала только первая машинистка, а остальное время они работали вместе. Какое время потребуется второй машинистке, чтобы одной перепечатать третью главу? | $3$ ч. |
| 216. (Галицкий, 10.68) | Резервуар объемом $18$ м3 можно наполнить по двум трубам. Обе трубы, работая одновременно, заполняют резервуар за $3$ ч. Если сначала вода поступает только через большую трубу, а после того как резервуар заполнится на $\dfrac{3}{4}$ объема, труба будет перекрыта и одновременно будет открыта меньшая труба, то для заполнения всего объема понадобится $6$ ч. Сколько воды поступает за $1$ ч через каждую из труб? | $4,5$ $м^3$, $1,5$ $м^3$ |
| 217. (Галицкий, 10.69) | Бассейн может наполняться водой с помощью двух насосов разной производительности. Если половину бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за $2$ ч $30$ мин. При одновременной работе обоих насосов бассейн наполняется за $1$ ч $12$ мин. Какую часть бассейна наполняет за $20$ мин работы насос меньшей производительности? | $\dfrac{1}{9}$ |
| 218. (Галицкий, 10.70) | В бассейн проведены две трубы — подающая и отводящая, причем через первую бассейн наполняется на $2$ ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на $\dfrac{1}{3}$ бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым через $8$ ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн? | $8$ ч, $6$ ч. |
| 219. (Галицкий, 10.71) | В цехе проходит соревнование между тремя токарями. За определенный период времени первый и второй токари обработали в $3$ раза больше деталей, чем третий токарь, а первый и третий токари — в $2$ раза больше, чем второй. Какой из токарей победил в соревновании? | Первый токарь |
| 220. (Галицкий, 10.72) | На угольной шахте сначала работали два участка, а через некоторое время вступил в строй третий участок, в результате чего производительность шахты увеличилась в полтора раза. Сколько процентов составляет производительность второго участка от производительности первого, если известно, что за четыре месяца первый и третий участки выдают угля столько же, сколько второй за весь год? | $60%$ |
| 221. (Галицкий, 10.73) | Три бригады, работая одновременно, выполняют норму по изготовлению деталей за некоторое число часов. Если бы первые две бригады работали в $2$ раза медленнее, а третья бригада — в $4$ раза быстрее, чем обычно, то норма была бы выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая бригады при совместной работе выполняют эту же норму в $2$ раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей. Во сколько раз первая бригада делает деталей за $1$ ч больше, чем третья? | В $4$ раза |
| 222. (Галицкий, 10.74) | Совхоз располагает тракторами четырех марок — А, Б, В и Г. Бригада из одного трактора марки А, двух тракторов марки Б и одного трактора марки В производит вспашку поля за $2$ дня. Бригада из одного трактора марки В и двух тракторов марки Г тратит на эту работу $3$ дня, а бригада из трех тракторов марок Б, В и Г — шесть дней. За сколько времени выполнит эту работу бригада, составленная из четырех тракторов различных марок? | $1.5$ дня |
| 223. (Галицкий, 10.75) | Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и третий, работая вместе, выполняют всю работу за $7,5$ ч, первый, третий и пятый — за $5$ ч, первый, третий и четвертый — за $6$ ч, четвертый, второй и пятый — за $4$ ч. За какой промежуток времени выполняют эту работу все пять человек вместе? | $3$ ч. |
| 224. (Галицкий, 10.76) | В бак может поступать вода через одну из двух труб. Через первую трубу бак может быть наполнен на $1$ ч быстрее, чем через вторую трубу. Если бы емкость бака была больше на $2$ м3, а пропускная способность второй трубы была бы больше на $\dfrac{4}{3}$ м3/ч, то для наполнения бака через вторую трубу понадобилось бы столько же времени, сколько требуется для прохождения $2$ м3 воды через первую трубу. Какова емкость бака, если известно, что за время его наполнения через вторую трубу через первую трубу могло бы поступить $3$ м3 воды? | $2$ $м^3$ |
| 225. (Галицкий, 10.77) | Через $2$ ч после того как первый трактор начал пахать поле, к нему присоединился второй, и они вместе закончили вспашку. Если бы тракторы поменялись ролями, то они закончили бы вспашку на $24$ мин позднее. Сколько времени тракторы работали вместе, если известно, что первый может вспахать четверть поля на $3$ ч быстрее, чем второй — треть поля? | $6$ ч. |
| 226. (Галицкий, 10.78) | Токарь и его ученик получили наряд на изготовление деталей. По нему ученик должен был изготовить $35$ деталей, а токарь — $90$ деталей. Токарь и ученик начали работу одновременно. Сначала токарь сделал $30$ деталей, обрабатывая в час вдвое больше деталей, чем ученик. Затем он стал обрабатывать в час на $2$ детали больше и закончил работу на $1$ ч позже ученика. Если бы токарь все детали обрабатывал с той же производительностью, что и при работе над $60$ деталями в первом случае, то он закончил бы работу на $30$ мин позже ученика. Сколько деталей в час обрабатывал ученик? | $5$ деталей в час |
| 227. (Галицкий, 10.79) | Двое рабочих работали одно и то же время и изготовили вместе (работая с постоянной производительностью труда и независимо один от другого) $150$ деталей. Если бы оба рабочих работали с производительностью первого рабочего, то для изготовления $150$ деталей им потребовалось бы времени на $\dfrac{1}{2}$ ч меньше. Если бы оба рабочих работали с производительностью второго рабочего, то для изготовления $150$ деталей им потребовалось бы времени на $\dfrac{3}{4}$ ч больше. Сколько деталей изготовит второй рабочий за восьмичасовой рабочий день? | $160$ деталей |
| 228. (Галицкий, 10.80) | Две бригады рабочих начали работу в $8$ ч. Сделав вместе $72$ детали, они стали работать раздельно. В $15$ ч выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на $8$ деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за $1$ ч на одну деталь больше, а вторая бригада за $1$ ч на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в $8$ ч и, сделав $72$ детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на $8$ деталей больше, чем вторая, уже к $13$ ч. Сколько деталей в час делала каждая бригада? | $13$ деталей, $11$ деталей |
| 229. (Галицкий, 10.81) | Объем грунта, который вынимает за $1$ ч первый экскаватор, меньше, чем объем грунта, который вынимает за $1$ ч второй экскаватор. Оба экскаватора начали работать вместе и вырыли котлован объемом $240$ м3. Потом первый экскаватор начал рыть второй котлован, а второй экскаватор продолжал рыть первый котлован. Через $7$ ч после начала их работы объем первого котлована оказался на $480$ м3 больше объема второго котлована. На другой день второй экскаватор вынимал за $1$ ч на $10$ м3 больше, а первый за $1$ ч вынимал на $10$ м3 меньше. Вырыв вместе котлован объемом $240$ м3, первый экскаватор стал рыть другой котлован, а второй экскаватор продолжал рыть первый. Теперь объем первого котлована стал на $480$ м3 больше объема второго котлована уже через $5$ ч после начала работы экскаваторов. Сколько м3 грунта в $1$ час вынимает каждый экскаватор? | $100$ $м^3$, $140$ $м^3$ |
| 230. (Галицкий, 10.82) | К двум бассейнам подведены две трубы разного диаметра (к каждому бассейну своя труба). Через первую трубу налили в первый бассейн определенный объем воды и сразу после этого во второй бассейн через вторую трубу налили такой же объем воды, причем на все это вместе ушло $16$ ч. Если бы через первую трубу вода текла столько времени, сколько через вторую, а через вторую — столько времени, сколько через первую, то через первую трубу налилось бы воды на $320$ м3 меньше, чем через вторую. Если бы через первую трубу проходило воды на $10$ м3/ч меньше, а через вторую — на $10$ м3/ч больше, то чтобы налить в бассейны (сначала в первый, а потом во второй) первоначальные объемы воды, ушло бы $20$ ч. Сколько времени лилась вода через каждую из труб? | $10$ ч, $6$ ч. |
| 231. (Галицкий, 10.83) | Имеются три не сообщающихся между собой резервуара, причем объем третьего не меньше объема второго. Первый резервуар имеет объем $V$ и может быть заполнен первым шлангом за $3$ ч, вторым шлангом — за $4$ ч, третьим шлангом — за $5$ ч. К каждому из резервуаров может быть подключен любой из этих трех шлангов. После того как к каждому из резервуаров подключают по одному шлангу каким-либо способом, все шланги одновременно включаются. Как только какой-нибудь резервуар наполнится, соответствующий шланг отключается и не может быть подключен в дальнейшем к другому резервуару. Заполнение считается оконченным, если наполнены все три резервуара. При самом быстром способе подключения заполнение окончится через $6$ ч. Если бы все резервуары сообщались, то заполнение окончилось бы через $4$ ч. Найдите объемы второго и третьего резервуаров. | $\dfrac{2}{15}V$, $2V$ |
| 232. (Моденов, П.1, 1) | При перемножении двух чисел, из которых одно на $10$ больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков в произведении на $4$. При делении, для проверки ответа, полученного произведения на меньший из множителей он получил в частном $39$, а в остатке $22$. Найти множители. | $31$ и $41$ |
| 233. (Моденов, П.1, 2) | Из сосуда, наполненного 96-процентным раствором кислоты (по объему), отлили $2,5$ л. и долили сосуд $80$-процентным раствором кислоты. После этого в сосуде получился $89$-процентный раствор кислоты. Определить вместимость сосуда. | $10$ л. |
| 234. (Моденов, П.1, 3) | Имеется некоторое количество равных шаров. Их можно уложить в виде квадрата или же в виде правильного треугольника. Найти число этих шаров, если известно, что при треугольном их расположении в стороне треугольника будет на два шара больше, чем в стороне квадрата при квадратном их расположении. | $36$ |
| 235. (Моденов, П.1, 4) | Из бака, наполненного спиртом, вылили часть спирта и долили водой; потом из бака вылили столько же литров смеси; тогда в баке осталось $49$ л чистого спирта. Вместимость бака $64$ л. Сколько спирта вылили в первый и во второй раз? | $8$ л, затем $7$ л. |
| 236. (Моденов, П.1, 5) | В некоторой дроби знаменатель на единицу больше удвоенного числителя; если к членам этой дроби прибавить по $5$ и умножить полученную дробь на первоначальную, то получится $\dfrac{7}{25}$. Какова данная дробь? | $\dfrac{2}{5}$ или $\dfrac{7}{15}$ |
| 237. (Моденов, П.1, 6) | Несколько рабочих получили $1000$ руб. Один из них заработал $100$ руб., другой на $50$ руб. больше первого, а третий на $50$ руб. больше второго и т. д. Сколько было рабочих? | $5$ |
| 238. (Моденов, П.1, 7) | В гору едет автомобиль, который проезжает в первую секунду $15$ м, а в каждую следующую — на $1$ м меньше, чем в предыдущую. Навстречу ему через $3$ сек. выехал другой автомобиль, находящийся от места выезда первого автомобиля на расстоянии $308$ м, причем второй автомобиль в первую секунду проехал $20$ м, а в каждую следующую секунду проезжает на $3$ м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние проехал первый автомобиль до встречи со вторым? | $105$ м. |
| 239. (Моденов, П.1, 8) | Несколько человек должны были заплатить поровну всего $72$ руб. Если бы их было тремя менее, то каждому пришлось бы выплатить на $4$ руб. больше. Сколько их было? | $9$ |
| 240. (Моденов, П.1, 9) | Бассейн наполняется двумя трубами за $6$ час. Одна первая труба заполняет его на $5$ час. быстрее, чем одна вторая. Во сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн? | $10$ часов, $15$ часов |
| 241. (Моденов, П.1, 10) | Куплен товар двух сортов: первого на $150$ руб., второго на $120$ руб. Второго сорта на $3$ кг больше, чем первого, и стоимость его за килограмм на $4$ руб. $50$ коп. дешевле. Сколько куплено товара каждого сорта? | $12$ кг, $15$ кг. |
| 242. (Моденов, П.1, 11) | Два лица выезжают одновременно из городов $A$ и $B$ навстречу друг Другу- Первый проезжает в час двумя километрами больше второго и приезжает в город $B$ часом раньше, чем второй в $A$. Расстояние $AB$ равно $40$ км. Сколько километров в час проезжает каждый из них? | $8$ км/ч; ;$10$ км/ч |
| 243. (Моденов, П.1, 12) | Ученик при перемножении двух чисел, из которых одно на $94$ больше другого ошибся, уменьшив в произведении цифру десятков на $4$. При делении ошибочного произведения на больший из множителей он получил в частном $52$, а в остатке $107$. Какие числа он перемножал? | $53$ и $147$ |
| 244. (Моденов, П.1, 13) | Числитель некоторой дроби на $3$ меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с дробью, полученной перестановкой числителя и знаменателя данной, то получится $\dfrac{149}{70}$. Найти исходную дробь. | $\dfrac{7}{10}$ |
| 245. (Моденов, П.1, 14) | Расстояние между конечными пунктами $A$ и $L$ по железной дороге ровно $200$ км. Поезд идет от $A$ первые $60$ км в гору, следующие $100$ км по ровному месту и остальные $40$ км опять в гору. При этом поезд в гору идет на $10$ км/ч медленнее, чем по ровному месту. На этом пути есть станции $B$, $C$, $D$, $E$ на расстоянии $40$, $85$, $135$, $180$ км от $A$, и на каждой из них поезд стоит $3$ мин. Найти время прихода поезда в $B$, $C$, $D$, $E$, если известно, что он вышел из $A$ в $8$ час. утра и пришел в $L$ в $12$ час. $42$ мин. того же дня. | $\dfrac{7}{10}$ |
| 246. (Моденов, П.1, 15) | $50 000$ руб. принесли в течение одного года некоторый доход. Какой процент составил доход, если известно, что эти $50 000$ руб. вместе с доходом за первый год, в течение следующего года дали $2612$ руб. $50$ коп. дохода, причем за второй год доход был на $0,5$% больше, чем за первый. | $4.5%$ |
| 247. (Моденов, П.1, 16) | Два поезда отправляются навстречу друг другу: один из Москвы, другой из Ленинграда. Они могут встретиться на половине пути, если поезд из Москвы Оправится на полтора часа раньше. Если бы оба поезда вышли одновременно, то через $6$ час. расстояние между ними составляло бы десятую долю первоначального. Сколько часов затрачивает каждый поезд на прохождение пути между Москвой и Ленинградом? | $12$ час; $15$ час. |
| 248. (Моденов, П.1, 17) | При рытье колодца глубиной свыше $10$ л за первый метр платил $10$ руб., а за каждый следующий — на $5$ руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того, за весь колодец дополнительно было уплачено $100$ руб. Средняя стоимость $1$ м оказалась равной $62$ руб. $50$ коп. Определить глубину колодца, зная, что она выражается целым числом метров. | $20$ м. |
| 249. (Моденов, П.1, 18) | В магазин доставлено несколько оконных стекол одного и того же сорта общей стоимостью $90$ руб. При перевозке два стекла оказались разбитыми; остальные стекла были проданы с прибылью по $2$ руб. за стекло, причем всего получено $14$ руб. прибыли. Сколько стекол было доставлено в магазин? | $15$ |
| 250. (Моденов, П.1, 19) | Из города $A$ в город $B$, отстоящий от $A$ на расстоянии $350$ км. вышел поезд. Если бы он шел со скоростью, меньшей действительной на $5$ км/час, то пробыл бы в пути на $1$ час $40$ мин. больше. Сколько времени идет поезд от $A$ до $B$? | $10$ часов |
| 251. (Моденов, П.1, 20) | Из двух мест, расстояние между которыми $28$ км, выходят одновременно навстречу друг другу два пешехода. Если бы первый не задерживался на $1$ час на расстоянии $9$ км от места своего отправления, то встреча пешеходов произошла бы на полпути. После остановки первый пешеход увеличил свою скорость на $1$ км/час, и они встретились на расстоянии $4$ км от остановки первого. Найти скорости пешеходов. | $3$ км/ч |
| 252. (Моденов, П.1, 21) | Кусок материи стоит $a$ руб. Если бы в куске было на $b$ м больше, а весь кусок стоил бы также $a$ руб., то каждый метр стоил бы на $c$ руб. меньше. Сколько метров было в куске? | $\dfrac{1}{2c}(\sqrt{c^2b^2+4abc}-cb)$ |
| 253. (Моденов, П.1, 22) | Двое рабочих, работая вместе, могут окончить некоторую работу в $m$ час. Во сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить эту же работу, если известно, что для выполнения всей работы одному второму понадобится на $n$ час. больше, чем для выполнения всей работы одному первому? | $m-\dfrac{n}{2}+\sqrt{m^2+\dfrac{n^2}{4}}$ час. и $m+\dfrac{n}{2}+\sqrt{m^2+\dfrac{n^2}{4}}$ |
| 254. (Моденов, П.1, 23) | На складе было некоторое количество угля. Один завод начал вывозить со склада уголь с $1$ сентября по a тонн в день, второй завод - с $10$ сентября и вывозил по $b$ тонн в день. К концу дня $25$ сентября на складе осталась половина первоначального количества угля. Когда весь уголь был вывезен, если оба завода получили угля поровну? | К концу $15$ октября |
| 255. (Моденов, П.1, 24) | Из двух городов, расстояние между которыми равно $a$ км, двигаются равномерно навстречу друг другу два поезда. Первый поезд качал двигаться на $c$ час. позже, чем второй, и они встретились на середине пути; кроме того, известно, что первый поезд проходит каждый час на $b$ км больше, чем второй. Сколько километров проходит каждый поезд в час? | $\dfrac{-cb+\sqrt{c^2b^2+2abc}}{2c}$ и $\dfrac{cb+\sqrt{c^2b^2+2abc}}{2c}$ |
| 256. (Моденов, П.1, 25) | Два грузовика одновременно выезжают с одного и того же склада в пункт, отстоящий от него на $a$ км. Один идет со скоростью, большей на $m$ км/час, чем другой, и приходит к месту назначения на $n$ час. раньше. С какой скоростью идет каждый грузовик? | $\dfrac{-mn+\sqrt{m^2n^2+4amn}}{2n}$; $\dfrac{mn+\sqrt{m^2n^2+4amn}}{2n}$ |
| 257. (Моденов, П.1, 26) | Моторная лодка, обладающая скоростью $a$ км/час, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно, не останавливаясь, за $m$ час. Расстояние между пунктами равно $s$ км. Найти скорость течения реки. | $\sqrt{a^2-\dfrac{2as}{m}}$ |
| 258. (Моденов, П.1, 27) | Из сосуда, вмещающего $a$ л и наполненного спиртом, отлили некоторую часть и вместо спирта сосуд долили водой; затем опять отлили такую же часть смеси и снова сосуд долили водой, после чего в сосуде осталось спирта $b$ л. Поскольку литров жидкости отливали каждый раз? | $a-\sqrt{ab}$ |
| 259. (Моденов, П.1, 28) | Бассейн, содержащий $a$ л воды, имеет два крана; через первый он наполняется, а через второй он опорожняется на $m$ мин. скорее, чем первый кран наполняет бассейн. Однажды, когда бассейн до половины был наполнен водой, открыли оба крана одновременно. Через $n$ мин. после этого бассейн опорожнился. Через сколько минут первый кран наполнит бассейн, а второй опорожнит наполненный бассейн, действуя отдельно? | $\dfrac{m+\sqrt{m^2+8mn}}{2}$; $\dfrac{-m+\sqrt{m^2+8mn}}{2}$ |
| 260. (Моденов, П.1, 29) | Из двух пунктов $A$ и $B$ выехали одновременно два связиста к месту $C$. Первый приехал в $C$ через $a$ мин., а второй, чтобы попасть в $C$ одновременно с первым, должен проезжать каждый километр на c мин. быстрее первого, так как расстояние от $B$ до $C$ на $b$ км больше расстояния от $A$ до $C$. Определить расстояние от $A$ до $C$. | $\dfrac{\sqrt{c^2b^2+4abc}-bc}{2}$ |
| 261. (Моденов, П.1, 30) | Из двух станций, расстояние между которыми $s$ км, были отправлены навстречу друг другу два поезда с расчетом, что они встретятся на половине пути. Определить скорость в час каждого поезда, если первый из них вышел на один час раньше второго со скоростью, на $a$ км/час меньшей, чем скорость второго поезда. | $\dfrac{-a+\sqrt{a^2+2as}}{2}$; $\dfrac{a+\sqrt{a^2+2as}}{2}$ |
| 262. (Моденов, П.1, 31) | $A$ выполняет некоторую работу в срок на $a$ дней больше, чем $B$, и на $b$ дней больше, чем $C$; $A$ и $B$, работая вместе, выполняют эту работу в срок, равный сроку $C$. Определить время, в которое каждый выполняет эту работу отдельно. | $b+\sqrt{b^2-ab}$; $b-a+\sqrt{b^2-ab}$ |
| 263. (Моденов, П.1, 32) | Из пункта $A$, расположенного на берегу озера, в пункт $B$, расположенный на берегу реки, впадающей в это озеро, вышел катер. Катер прибыл к месту назначения через $m$ час., пройдя по озеру $a$ км, а по реке — половину этого расстояния. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки равна $c$ км/час. | $\dfrac{3a+2mc+\sqrt{4m^2c^2-4amc+9a^2}}{4m}$ |
| 264. (Моденов, П.1, 33) | Перевозка одной тонны груза от пункта $M$ до пункта $N$ по железной дороге обходится на $b$ коп. дороже, чем водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти из $M$ в $N$ по железной дороге на сумму $5$ руб., если водным путем на ту же сумму можно перевезти на $k$ тонн больше, чем по железной дороге. | По железной дороге за $s$ руб. можно перевезти $\dfrac{-bk+\sqrt{b^2k^2+400bsk}}{2b}$ тонн, а водным путем $\dfrac{bk+\sqrt{b^2k^2+400bsk}}{2b}$ тонны. |
| 265. (Моденов, П.1, 34) | Определить глубину колодца, зная, что звук от удара камня о дно колодца, брошенного в колодец с начальной скоростью, равной нулю, слышен через $t$ сек. от начала падения камня; ускорение силы тяжести равно $g$. Скорость звука $v$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. | $\dfrac{v}{g}(v+gt-\sqrt{v^2+2vgt})$ |
| 266. (Моденов, П.1, 35) | Цилиндрическая трубка с поршнем погружена в резервуар с водой; между поршнем и водой находится столб воздуха в $h$ м при атмосферном давлении. Затем поршень поднимают на $b$ м над уровнем воды в резервуаре. Вычислить высоту воды в трубке, зная, что высота столба жидкости в водяном барометре при атмосферном давлении равна $c$ м. | $0.5(c+b-\sqrt{(c-b)^2+4hc})$ |
| 267. (Моденов, П.1, 36) | Найти формулу для $n$-го члена ряда чисел $xv х2,...,хn,....$ если $х1 = а$, $x2 = b$ и каждое $хn$. Начиная с $х3$, есть среднее арифметическое двух предшествующих, т. е. $x_n=\dfrac{(x_(n-1)+x_(n-2))}{2}$. | $x_n=\dfrac{a+2b}{3}+\dfrac{4(b-a)}{3\cdot 2^n}(-1)^n$ |
| 268. (Моденов, П.1, 37) | В шахматном турнире участвовали ученики девятых и десятых классов. Десятиклассников было в $10$ раз больше, чем девятиклассников, и они набрали вместе в $4,5$ раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько очков набрали девятиклассники, если каждый с каждым играл один раз. | $10$ |
| 269. (Моденов, П.2, 1) | Города $A$ и $B$ расположены на берегу реки, в которой скорость течения равна $4$ км/час. Лодочник плывет на лодке от $A$ к $B$ и обратно и находит, что он в пути на $39$ мин. дольше, чем если бы течения не было совсем. На следующий день он повторяет свою поездку с товарищем и находит, что если бы не было течения, то вместе с товарищем они проплыли бы за час наполовину более того расстояния, которое он прошел бы сам. На этот раз они были в пути на $8$ мин. больше, чем если бы не было течения. Найти скорость лодки, если бы не было течения. | $6$ км/ч. |
| 270. (Моденов, П.2, 2) | $A$ и $B$ работали одинаковое число дней. Если бы $A$ работал на один день меньше, а $B$ - на семь дней меньше, то $A$ заработал бы $360$ руб., а $B$ - $324$ руб. Если бы, наоборот, $A$ работал на семь дней меньше, а $B$ - на один день меньше, то $B$ заработал бы на $162$ руб. больше $A$. Сколько заработал каждый в действительности? | $A-375$ руб, $B-450$ руб. |
| 271. (Моденов, П.2, 3) | Производительность завода $A$ составляет $40,96$% производительности завода $B$. Число процентов годового прироста продукции на заводе $A$ на $30$ больше числа процентов годового прироста продукции на заводе $B$. Каков годовой прирост продукции (в процентах) на заводе $A$, если на четвертый год работы он дает то же количество продукции, что и завод $B$? | $50%$ |
| 272. (Моденов, П.2, 4) | Из сосуда с вином отлит $1$ л вина и добавлен $1$ л воды. Затем отлит $1$ л смеси и добавлен $1$ л воды и т. д. После того как эта операция была повторена $35$ раз, оказалось, что смесь в сосуде состоит наполовину из воды и наполовину из вина. Сколько вина было первоначально в сосуде? | $\dfrac{\sqrt[35]{2}}{\sqrt[35]{2}-1}$ |
| 273. (Моденов, П.2, 5) | Средний годовой процент прироста народонаселения из года в год остается постоянным. Если бы годовой процент прироста увеличился на $k$, то через n лет численность населения была бы в два раза больше, чем при нормальных условиях. Определить годовой прирост населения (в процентах). | $\dfrac{k}{\dfrac[n]{2}-1}-100$ |
| 274. (Моденов, П.2, 6) | \\Численность населения города увеличивается ежегодно на $p$% (каждый раз по отношению к началу года). Через сколько лет численность населения удвоится? | $n=\dfrac{\lg 2}{\lg(1+0.01p)}$ |
| 275. (Моденов, П.2, 7) | Сферический баллон с толщиной стенки ε, изготовленный из материала плотности $d$, заполнен жидкостью плотности $δ$. Каков должен быть внутренний радиус $R$ баллона, чтобы при погружении его в жидкость плотности $Δ$ имело место равновесие. Какому условию должны удовлетворять плотности $d$, $δ$ и $Δ$, чтобы задача была возможна. | $R=\dfrac{\varepsilon}{\sqrt[3]{\dfrac{\delta - d}{Δ-d}-1}}; δ>Δ>d$ или $δ<Δ<d$ |
| 276. (Моденов, П.2, 8) | Двое рабочих наняты на работу на один и тот же срок, но зарплата у них неодинакова. Первый работал на $a$ дней меньше срока и получил $b$ руб., а второй проработал на $a$ дней больше срока и получил $c$ руб. Если бы первый работал столько дней, сколько второй, а второй столько дней, сколько первый, то они получили бы поровну. Определить срок работы. | $a\dfrac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{c}-\sqrt{b}}$ |
| 277. (Моденов, П.2, 9) | Построены четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и т. д. Число диагоналей во всех многоугольниках равно $800$. Сколько построено многоугольников? | $15$ |
| 278. (Моденов, П.2, 10) | Для нумерации некоторого числа страниц потребовалось в $n$ раз больше цифр, чем было страниц. Сколько было страниц? ($n$ - целое положительное число). | $x=\underbrace{111..1}_{n+1}-(n+1)$ |
| 279. (Моденов, П.3, 1) | Два туриста вышли одновременно из $A$ в $B$ и из $B$ в $A$. Каждый шел с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, немедленно поворачивал обратно. Первый раз они встретились в $12$ км от $B$, второй раз — в $6$ км от $A$ через $6$ час. после первой встречи. Найти расстояние между $A$ и $B$ и скорости обоих туристов. | $18$ км, $6$ км/ч, $4$ км/ч. |
| 280. (Моденов, П.3, 2) | Из $A$ в $B$ и из $B$ в $A$ одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти $24$ км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти $15$ км. Сколько километров останется пройти второму пешеходу после того, как первый закончит переход? | $8$ км. |
| 281. (Моденов, П.3, 3) | Два вкладчика вложили одинаковые суммы в сберкассу (по простым процентам). Первый по истечении $8$ месяцев получил вместе с процентной суммой $616$ руб. Второй по истечении $15$ месяцев получил $630$ руб. $24$ коп. Какая сумма была вложена каждым вкладчиком и по каким процентам? | $600$ руб. по $4%$ |
| 282. (Моденов, П.3, 4) | Найти два числа, зная, что их сумма, разность и произведение относятся как $a : b : c$. | $\dfrac{2c}{a-b}, \dfrac{2c}{a+b}$ |
| 283. (Моденов, П.3, 5) | Два самолета одновременно вылетают навстречу друг другу из городов $A$ и $B$, расстояние между которыми $s$ км. Через час полета они встретились и, не останавливаясь, продолжали путь. Первый прибыл в город $B$ на $m$ мин. раньше, чем второй прибыл в $A$. Найти скорости самолетов. | $v_1=\dfrac{m-2+\sqrt{m^2+4}}{2m}s$, $v_1=\dfrac{m+2-\sqrt{m^2+4}}{2m}s$ |
| 284. (Моденов, П.3, 6) | Через два крана неодинакового сечения ванна при совместном действии кранов наполняется за $m$ час. Если бы половину ванны наполнить через один кран, а другую половину - через другой, то для наполнения ванны потребовалось бы $t$ час. Во сколько часов наполняется ванна через каждый кран отдельно? | $t+\sqrt{t^2-2tm}$ и $t-\sqrt{t^2-2tm}$ |
| 285. (Моденов, П.3, 7) | Два трактора разной мощности начали пахать поле в $14$ га в $7$ час. и кончили вспашку одновременно. Если бы первый трактор вспахивал в час на $0,1$ га больше, а второй начал бы работу на час раньше, то работа была бы окончена на $1$ час $12$ мин. раньше. Если бы второй трактор вспахивал в час на $0,1$ га больше, а первый начал бы работу на час раньше, то работа была бы окончена на $1$ час $4$ мин. раньше. В котором часу тракторы закончили работу? | В $17$ ч. |
| 286. (Моденов, П.3, 8) | $1$-я и $2$-я трубы наполняют бассейн в $260$ л, $3$-я и $4$-я - бассейн в $370$ л. $3$-я труба подает на $45$ л в минуту больше, чем $1$-я, а $4$-я - вдвое больше, чем $2$-я. Все $4$ трубы открываются одновременно; $1$-я, $2$-я и $4$-я закрываются одновременно, но позже третьей, которая действует $2$ мин. При этом оба бассейна оказываются наполненными. Все $4$ трубы вместе подают $200$ л в минуту. Сколько времени действовала $1$-я труба? | $4$ м. |
| 287. (Моденов, П.3, 9) | От пристани в пункте $A$ отошел пароход в направлении пункта $B$, расположенного вниз по течению на расстоянии $24$ км. Одновременно в том же направлении отправился пешеход. Дойдя до $B$, пароход повернул обратно и через некоторое время оказался в одном пункте с пешеходом, а именно на расстоянии $8$ км от $A$. Продолжая рейс, пароход прибыл в $A$ через $30$ мин. после встречи с пешеходом. Найти скорости движения парохода и пешехода. | $4$ км/ч. и $20$ км/ч. |
| 288. (Моденов, П.3, 10) | Резервуар, вместимость которого равна $5280$ л, был наполнен двумя трубами из которых вода текла неодинаковое время. Первая труба давала каждую секунду на $2$ л воды больше второй. Если бы вторая труба давала в секунду столько, сколько первая, то из нее натекло бы $3400$ л, а если бы первая труба давала в секунду столько, сколько вторая, то из нее натекло бы $2048$ л. Сколько литров воды в секунду давала каждая труба. | $8$ л/с, $10$ л/с. или $\dfrac{128}{21}$ л/с, $\dfrac{170}{21}$ л/с |
| 289. (Моденов, П.3, 11) | Со станции $A$ в направлении к станции $B$ в $8$ час. утра вышел скорый поезд, а через один час - товарный. Со станции $B$ в $9$ час. утра того же дня вышел в направлении к $A$ третий поезд, который в $10$ час. утра того же дня встретился со скорым, а в $11$ час. утра того же дня - с товарным. Товарный поезд прибыл в B на $4$ час. позже скорого. Когда третий поезд прибыл в $A$? | В $12$ ч. |
| 290. (Моденов, П.3, 12) | Сосуд имеет два крана: $A$ и $B$. Сосуд был полон, когда открыли кран $A$, а затем, когда из наполненного сосуда вытекло четверть всей воды, открыли кран $B$; тогда остальная часть воды вытекла из сосуда через такое число часов которое на один час больше времени работы одного крана $A$. Если же сосуд полон и оба крана открыть сразу, то он опорожнится на полчаса раньше, чем в первом случае. Вычислить время, необходимое каждому крану в отдельности для опорожнения наполненного сосуда. | $5$ ч. и 7ч. $30$ мин. |
| 291. (Моденов, П.3, 13) | Пешеход отправляется из пункта $A$ в пункт $B$; расстояние между этими пунктами равно $13$ км $200$ м. В то же время из пункта $B$ в $A$ выезжает велосипедист. Встреча происходит через $44$ мин., после чего велосипедист прибывает в пункт $A$ на $1$ час $45$ мин. раньше, чем пешеход приходит в $B$. Каковы скорости пешехода и велосипедиста в метрах в минуту? | $80$ м/мин. и $220$ м/мин. |
| 292. (Моденов, П.3, 14) | Два обыкновенных плуга и один тракторный обрабатывают вместе некоторый участок в $6$ дней. Восемь обыкновенных плугов выполнили бы ту же работу на $2$ дня скорее, чем один тракторный. Во сколько раз производительность тракторного плуга больше производительности обыкновенного? | $136$ раз |
| 293. (Моденов, П.3, 15) | Сумма некоторого двузначного и обращенного чисел (т. е. написанного теми же цифрами, но в обратном порядке) равна $55$, а произведение тех же чисел равно $736$. Найти эти числа. | $23$ и $32$ |
| 294. (Моденов, П.3, 16) | Березовые и осиновые дрова были куплены за $164$ руб.; затем березовые были проданы за $125$ руб., а осиновые - за $48$ руб., причем на первых было получено столько процентов прибыли, сколько на вторых убытку. За сколько рублей были куплены те и другие дрова в отдельности? | $100$ руб. и $64$ руб. или $102$ руб. $50$ коп. и $61$ руб. $50$ коп. |
| 295. (Моденов, П.3, 17) | Сумма цифр двузначного числа равна $6$. Произведение этого числа и обращенного (т. е. написанного теми же цифрами, но в обратном порядке) равно $1008$. Найти это число. | $24$ или $42$ |
| 296. (Моденов, П.3, 18) | Расстояние между двумя городами, равное $600$ км, почтовый поезд проходит на $8$ час. быстрее товарного. Если скорость каждого увеличить на $10$ км/час, то почтовый поезд будет проходить тот же путь лишь на $5$ час. скорее товарного. Определить скорость каждого поезда. | $50$ км/ч, $30$ км/ч. |
| 297. (Моденов, П.3, 19) | Если некоторое двузначное число умножить на сумму его цифр, то получится $90$. Если обращенное число (т. е. написанное теми же цифрами, но в обратном порядке) умножить на сумму его цифр, то получится $306$. Найти это число. | $15$ |
| 298. (Моденов, П.3, 20) | Для перенесения товара с одного места на другое нанято некоторое число рабочих, которые перенесут весь товар за $10$ час. Если бы рабочих было на $10$ больше и каждый переносил бы в час на $5$ ящиков больше, то работа была бы закончена за $6$ час., а если бы рабочих было на $20$ меньше и каждый переносил бы в $1$ час на $5$ ящиков больше, то на работу ушло бы $15$ час. Сколько нанято рабочих и сколько ящиков в час переносит один рабочий? | $40$ рабочих, $15$ ящиков в час |
| 299. (Моденов, П.3, 21) | \\Число десятков двузначного числа на $5$ больше числа его единиц; произведение же этого числа на сумму его цифр равно $648$. Какое это число? | $72$ |
| 300. (Моденов, П.3, 22) | Два грузовых автомобиля должны были перевезти некоторый груз за $6$ час., но второй автомобиль задержался в гараже. Когда он прибыл на место погрузки, первый уже перевез $\dfrac{3}{5}$ у всего груза. После этого первый автомобиль уехал, а второй перевез оставшуюся часть груза. Перевозка всего груза таким способом заняла $12$ час. Сколько времени понадобилось бы каждому автомобилю в отдельности для перевозки всего груза? | Или обоим по $12$ ч. или первому $10$ ч, второму $15$ ч. |