| Номер | Условие | Ответ |
|---|---|---|
| 901. (Сканави, 13.342) | Расстояние между станциями $А$ и $В$ равно $360$ км. В одно и то же время из $A$ и из $B$ навстречу друг другу выходят два поезда. Поезд, вышедший из $A$, прибывает на станцию $B$ не ранее чем через $5$ ч. Если бы его скорость была в $1,5$ раза больше, чем на самом деле, то он встретил бы второй поезд раньше, чем через $2$ ч после своего выхода из $A$. Скорость какого поезда больше? | Вышедшего из $B$ |
| 902. (Сканави, 13.343) | Есть предположение, что выражение $(x + a)(x + 2a)(x + Зa)(x + 4a) + a^4$ является квадратом трехчлена вида $х^2 + px + qa^2$. Как можно проверить это утверждение и найти коэффициенты $р$ и $q$? | $p=5a$, $q=5$$ |
| 903. (Сканави, 13.344) | Модули двух сил, действующих на материальную точку под прямым углом, и модуль их равнодействующей составляют арифметическую прогрессию. Определить, в каком отношении находятся модули сил. | $3:4:5$ |
| 904. (Сканави, 13.345) | Предполагая, что стрелки часов движутся без скачков, установить, через сколько минут после того, как часы показывали $8$ ч, минутная стрелка догонит часовую. | Через $43\dfrac{7}{11}$ мин. |
| 905. (Сканави, 13.346) | Объем вещества $A$ составляет половину суммы объемов веществ $B$ и $C$, а объем вещества $B$ составляет суммы объемов веществ $A$ и $C$. Найти отношение объема вещества $C$ к сумме объемов веществ $A$ и $B$.. | $1$ |
| 906. (Сканави, 13.347) | Найти два числа по следующим условиям: сумма их равна $1244$; если в конце обозначения первого числа приписать цифру $3$, а в конце обозначения второго числа отбросить цифру $2$, то получатся два равных числа. | $12$ и $1232$ |
| 907. (Сканави, 13.348) | От станции $A$ по направлению к станции В отошел пассажирский поезд. Через $a$ ч от станции $B$ по направлению к станции $A$ отошел поезд «Стрела». Поезда встретились на станции $C$. После встречи пассажирский поезд шел $b$ ч, поезд «Стрела» шел $c$ ч. Сколько времени потребовалось каждому из этих поездов на весь путь между станциями $A$ и $B$? Предполагается, что скорости поездов постоянны на всем пути. | $0.5(a+2b+\sqrt{a^2+4bc})$ и $0.5(2c-a+\sqrt{a^2+4bc})$ ч. |
| 908. (Сканави, 13.349) | От почты $A$ до поселка $B$ надо пройти $9$ км. Почтальон проходит путь туда и обратно, не задерживаясь в поселке, за $3$ ч $41$ мин. Дорога из $A$ в $B$ идет сначала в гору, потом по ровному месту и затем под гору. На каком протяжении дорога тянется по ровному месту, если в гору почтальон идет со скоростью $4$ км/ч, по ровному месту $5$ км/ч, а под гору $6$ км/ч? | $4$ км. |
| 909. (Сканави, 13.350) | Два автомобилиста встретились на полпути между городами $A$ и $B$. При встрече выяснилось, что первый из $A$ выехал раньше, чем второй из $B$, на столько часов, сколько составит половина того времени (также в часах), которое прошло бы до их встречи при одновременном выезде из тех же пунктов, по той же дороге, с теми же скоростями, постоянными на всем пути. Во сколько раз второй автомобилист ехал быстрее первого? | В $0.5(1+\sqrt{5})$ раз |
| 910. (Сканави, 13.351) | Дорога от почты $A$ до поселка $B$ идет сначала в гору на протяжении $2$ км, потом по ровному месту $4$ км и затем под гору $3$ км. Почтальон проходит от $A$ до $B$ за $2$ ч $16$ мин, а обратно — за $2$ ч $24$ мин. Если бы конечный пункт его пути был расположен по той же дороге, но вдвое ближе к $A$, то на весь путь туда и обратно почтальону было бы достаточно $2$ ч $19$ мин. Сколько километров в час проходит почтальон, когда он идет: а) в гору; б) по ровному месту; в) под гору? | а) $3$ км/ч; б) $4$ км/ч; в) $5$ км/ч. |
| 911. (Сканави, 13.352) | Навстречу движущемуся трамваю шла девушка — знакомая юноши, сидевшего у окна трамвая. Через $8$ с после того как она поравнялась с окном, юноша вышел из трамвая и пошел следом за ней. Сколько времени прошло с этого момента до того, как он догнал девушку? Скорость юноши в $2$ раза больше скорости девушки и в $5$ раз меньше скорости трамвая. | $88$ с. |
| 912. (Сканави, 13.353) | При умножении двух положительных чисел, из которых одно на $75$ больше другого, по ошибке получилось произведение на $1000$ меньше истинного. Вследствие этого, разделив (при проверке) ошибочное произведение на меньший из множителей, получили в частном $227$ и в остатке $113$. Найти оба числа. | $159$ и $234$ |
| 913. (Сканави, 13.354) | При умножении двух чисел, из которых одно на $10$ больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков произведения на $4$. При делении полученного произведения на меньший множитель для проверки ответа он получил в частном $39$, а в остатке $22$. Найти множители. | $31$ и $41$ |
| 914. (Сканави, 13.355) | Автомобиль, пройдя путь от $A$ до $B$, равный $300$ км, повернул назад и через $1$ ч $12$ мин после выхода из $B$ увеличил скорость на $16$ км/ч. В результате на обратный путь он затратил на $48$ мин меньше, чем на путь от $A$ до $В$. Найти первоначальную скорость автомобиля. | $60$ км/ч |
| 915. (Сканави, 13.356) | Расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $308$ м. Из $A$ по направлению к $B$ движется точка, которая в первую секунду проходит $15$ м, а в каждую следующую секунду на $1$ м меньше. Из $B$ в противоположном направлении движется точка, которая в первую секунду проходит $20$ м, а в каждую следующую на $3$ м больше. На каком расстоянии от $A$ произойдет встреча, если точка, вышедшая из $B$, начала двигаться на $3$ с позже точки, вышедшей из пункта $A$? | $105$ м. |
| 916. (Сканави, 13.357) | Велосипедист проехал $96$ км на $2$ ч быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на $1$ км больше, чем предполагал проезжать за $1$ ч $15$ мин. С какой скоростью он ехал? | $16$ км/ч. |
| 917. (Сканави, 13.358) | Найти шестизначное число, начинающееся с цифры $1$ и такое, что если переставить эту цифру в конец, то получится число, втрое большее искомого. | $142857$ |
| 918. (Сканави, 13.359) | Найти два двузначных числа, обладающих следующим свойством: если к большему искомому числу приписать справа нуль и за ним меньшее число, а к меньшему числу приписать справа большее число и затем нуль, то из полученных таким образом двух пятизначных чисел первое, будучи разделено на второе, дает в частном $2$ и в остатке $590$. Кроме того, известно, что сумма, составленная из удвоенного большего искомого числа и утроенного меньшего, равна $72$. | $21$ и $10$ |
| 919. (Сканави, 13.360) | Велосипедист отправляется из $A$ в $B$. Расстояние от $A$ до $B$ равно $60$ км; скорость велосипедиста постоянна. Затем он едет обратно с той же скоростью, но через час после выезда из $B$ делает остановку на $20$ мин. После этого он продолжает путь, увеличив скорость на $4$ км/ч. В каких границах заключена скорость $v$ велосипедиста, если известно, что на обратный путь от $B$ до $A$ он потратил не больше времени, чем на путь от $A$ до $B$? | $0<v<20$ км/ч |
| 920. (Сканави, 13.361) | расный карандаш стоит $2$ р. $70$ к., синий — $2$ р. $30$ к. На покупку карандашей можно затратить не более $94$ р. Необходимо закупить максимально возможное суммарное количество красных и синих карандашей. При этом красных карандашей нужно закупить как можно меньше, но число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей более чем на $10$. Сколько красных и сколько синих карандашей следует закупить при указанных условиях? | $14$ красных и $24$ синих |
| 921. (Сканави, 13.362) | Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении $1 : 2$, а другой содержит те же металлы в отношении $2 : 3$. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении $17 : 27$? | $9$ и $35$ |
| 922. (Сканави, 13.363) | Некоторый сплав содержит металлы $A$ и $B$ в отношении $m : n$, другой — те же металлы в отношении $p : q$. Какие количества первого и второго сплавов нужно взять, чтобы получить $1$ кг третьего сплава с равным содержанием металлов $A$ и $B$? | $\dfrac{1}{2}+\dfrac{mp-nq}{2(np-mq)}; \dfrac{1}{2}-\dfrac{mp-nq}{2(np-mq)}$; |
| 923. (Сканави, 13.364) | Основание степени увеличили в $k$ раз, а показатель степени уменьшили во столько же раз, в результате чего сама степень не изменилась. Найти основание степени, обладающей таким свойством. | $\sqrt[k-1]{k}$ |
| 924. (Сканави, 13.365) | Два судна движутся прямолинейно и равномерно в один и тот же порт. В начальный момент времени положения судов и порта образуют равносторонний треугольник, а после того как второе судно прошло $80$ км — прямоугольный треугольник. В момент прибытия первого судна в порт второму остается пройти $120$ км. Найти расстояние между судами в начальный момент времени. | $240$ км. |
| 925. (Сканави, 13.366) | На реке, скорость течения которой $5$ км/ч, в направлении ее течения расположены пристани $A$, $B$ и $C$, причем $B$ находится посередине между $A$ и $C$. От пристани $B$ одновременно отходят плот, который движется по течению к пристани $C$, и катер, который идет к пристани $A$, причем скорость катера в стоячей воде равна $V$ км/ч. Дойдя до пристани $A$, катер разворачивается и движется по направлению к пристани $C$. Найти все те значения $V$, при которых катер приходит в $C$ позже, чем плот. | $5<v<15$ км/ч |
| 926. (Сканави, 13.367) | Несколько студентов решили купить импортный магнитофон стоимостью от $170$ до $195$ долларов. Однако в последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на $1$ доллар больше. Сколько стоил магнитофон? | $180$ долларов |
| 927. (Сканави, 13.368) | Для перевозки груза из одного места в другое было затребовано некоторое количество грузовиков одинаковой вместимости. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на $0,5$ т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно были затребованы $4$ такие же машины. Масса перевезенного груза была не менее $55$ т, но не превосходила $64$ т. Сколько тонн груза было перевезено на каждом грузовике? | $2.5$ т. |
| 928. (Сканави, 13.369) | Около дома посажены липы и березы, причем их общее количество более $14$. Если количество лип увеличить вдвое, а количество берез на $18$, то берез станет больше, чем лип. Если же количество берез увеличить вдвое, не изменяя количества лип, то лип теперь будет больше, чем берез. Сколько лип и сколько берез было посажено? | $11$ ли и $5$ берез |
| 929. (Сканави, 13.370) | Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по $20$ марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по $23$ марки на лист, то по крайней мере один лист останется пустым. Если же школьнику подарить еще такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по $21$ марке, то всего у него станет $500$ марок. Сколько листов в альбоме? | $12$ листов |
| 930. (Сканави, 13.371) | Сооружается участок железнодорожной насыпи длиной $100$ м, поперечным сечением которого является равнобедренная трапеция с нижним основанием $5$ м, верхним основанием, не меньшим $2$ м, и углом откоса $45^{\circ}$. Какую высоту $h$ должна иметь эта насыпь, чтобы объем земляных работ составил не менее $400 м^3$, но не более $500 м^3$? | $1\leq h\leq 0.5(5-\sqrt{5})$ м |
| 931. (Сканави, 13.372) | В былое время комиссионный магазин как-то принял для продажи фотоаппараты, часы, авторучки и радиоприемники на сумму $240$ р. Сумма цен приемника и одних часов на $4$ р. больше суммы цен фотоаппарата и авторучки, а цена авторучки равна целому числу рублей, не превосходящему $6$. Количество принятых фотоаппаратов равно цене одного фотоаппарата в рублях, деленной на $10$; количество принятых часов равно числу приемников, а также числу фотоаппаратов. Количество авторучек в $3$ раза больше числа фотоаппаратов. Сколько всего предметов указанных наименований было принято магазином? | $18$ предметов |
| 932. (Сканави, 13.373) | Электронная вычислительная машина получила задание решить последовательно несколько задач. Регистрируя время выполнения задания, заметили, что на решение каждой следующей задачи машина затрачивала в одно и то же число раз меньше времени, чем на решение предыдущей. Сколько было предложено задач и сколько времени затрачено машиной на решение всех задач, если на решение всех задач, кроме первой, затрачено $63,5$ мин, на решение всех задач, кроме последней, затрачено $127$ мин, а на решение всех задач, кроме двух первых и двух последних, затрачено $30$ мин? | $8$ задач; $127.5$ мин. |
| 933. (Сканави, 13.374) | Три свечи имели одинаковую длину, но разную толщину. Первая свеча была зажжена на $1$ ч раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая и третья свечи оказались имеющими одинаковую длину, а через $2$ ч после этого одинаковую длину стали иметь первая и вторая свечи. За сколько часов сгорает первая свеча, если вторая сгорает за $12$ ч, а третья — за $8$ ч? | $16$ ч. |
| 934. (Сканави, 13.375) | Найти трехзначное число, зная, что число его десятков есть среднее геометрическое числа сотен и единиц. Если в его записи поменять местами цифры сотен и единиц и вычесть новое число из искомого, то разность будет равна $297$. | $421$ |
| 935. (Сканави, 13.376) | Искомое трехзначное число оканчивается цифрой $1$. Если ее стереть и затем ее же приписать в качестве первой цифры числа, то полученное новое трехзначное число будет меньше искомого на . Найти это число. | $211$ |
| 936. (Сканави, 13.377) | Разность логарифмов цифр сотен и десятков трехзначного числа равна логарифму разности тех же цифр. Если из этого трехзначного числа вычесть число, имеющее обратный порядок цифр, то их разность будет равна положительному числу, у которого цифра сотен совпадает с цифрой десятков данного числа. Найти это число. | $421$ |
| 937. (Сканави, 13.378) | В куске сплава массой $6$ кг содержится медь. В куске другого сплава массой $8$ кг содержится медь в ином процентном отношении, чем в куске первого сплава. От первого куска отделили некоторую часть, а от второго — часть, вдвое большую по массе, чем от первого. Каждую из отделенных частей сплавили с остатком другого куска, после чего получили два новых сплава с одинаковым процентным содержанием меди. Какова масса каждой из частей, отделенных от кусков первоначальных сплавов? | $2.4$ и $4.8$ кг. |
| 938. (Сканави, 13.379) | Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Бриллиант массой $p$ карат был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась в $k$ раз. Найти массу частей, на которые был разбит бриллиант ($1$ карат = $0,2$ г). Доказать, что наибольшая потеря в стоимости бриллианта происходит в том случае, когда обе его части равны по массе. | $\dfrac{p(k\pm \sqrt{k(2-k)})}{2k}$ карат, где $1\leq k\leq 2$; наибольшая потеря стоимости в $2$ раза |
| 939. (Сканави, 13.380) | Куплено несколько килограммов товара двух сортов: $1$-го сорта на $4500$ р. и $2$-го на $2000$ р., причем $1$-го сорта куплено на $1$ кг больше. Стоимость $1$ кг товара $1$-го сорта на $100a$ р. больше стоимости $1$ кг товара $2$-го сорта. Сколько килограммов товара каждого сорта куплено? Определить число решений в зависимости от возможных значений $a$. | $\dfrac{25+a+\sqrt{D}}{2a}$ и $\dfrac{25-a+\sqrt{D}}{2a}$ кг или $\dfrac{25+a-\sqrt{D}}{2a}$ и $\dfrac{25-a-\sqrt{D}}{2a}$ кг, где $D=a^2-130a+625$. |
| 940. (Сканави, 13.381) | Уголь, добываемый в пункте $A$, продается по $q$ р. за тонну, а добываемый в пункте $B$ — на $p%$ дороже. Пункты $A$ и $B$ соединяет дорога длиной $S$ км. В какой зоне этой дороги $AB$ расположены потребители угля, для которых закупка и доставка угля из $B$ обходится дешевле, чем из $A$, если перевозка $1$ т угля на расстояние $1$ км обходится в $r$ р.? В каком месте дороги $AB$ расположено предприятие, расходы которого на потребление угля не зависят от выбора пункта $A$ или $B$? Исследовать возможные случаи. | Если $s\geq \dfrac{pq}{100r}$ км, то на расстоянии от $B$, не большем чем $\dfrac{s}{2}-\dfrac{pq}{200r}$ км, выгоднее брать уголь в $B$; на расстоянии от $B$, большем чем $\dfrac{s}{2}-\dfrac{pq}{200r}$ км, выгоднее брать уголь в $A$; для пункта отстоящего от $B$ на $\dfrac{s}{2}-\dfrac{pq}{200r}$, расходы на потребление угля не зависят от выбора пункта $A$ и $B$. Если же $s<\dfrac{pq}{100r}$, то для любого пункта $AB$, выгоднее брать уголь в $A$ |
| 941. (Сканави, 13.382) | Точка $P$ расположена на диаметре окружности радиуса $R$ между концами диаметра $AB$. Из этой точки $P$ движутся три единичные массы по направлениям отрезков $PA$, $PB$ и $PC$ так, что $PC$ — полухорда, перпендикулярная диаметру $AB$. На каком расстоянии от $A$ находится точка $P$, если известно, что скорости движения постоянны и за единицу времени первая масса достигла точки $A$, вторая — точки $B$, а третья — точки $C$? При этом кинетическая энергия ($\dfrac{0,5}{mv^2}$) в сумме составляет $a^2$ единиц. В каких пределах можно изменять величину $a^2$, чтобы выполнялось условие задачи? | $R\pm \sqrt{2a^2-3R^2}$; $1.5R\leq a^2 \leq 2R^2$ |
| 943. (Сканави, 13.383) | Несколько рабочих выполняют задание за $14$ дней. Если бы их было на $4$ человека больше и каждый работал бы в день на $1$ ч дольше, это же задание было бы выполнено за $10$ дней. Если же их было еще на $6$ человек больше и каждый работал бы еще на $1$ ч в день дольше, задание было бы выполнено за $7$ дней. Сколько было рабочих и сколько часов в день они работали? | $20$ рабочих; $6$ ч. |
| 944. (Сканави, 13.384) | Пять человек выполняют некоторое задание. Первый, второй и третий, работая вместе, могут выполнить все задание за $7,5$ ч; первый, третий и пятый вместе — за $5$ ч; первый, третий и четвертый вместе — за $6$ ч, а второй, четвертый и пятый вместе — за $4$ ч. За какое время выполнят это задание все $5$ человек, работая вместе? | За $3$ часа |
| 945. (Сканави, 13.385) | На соревнованиях авиамоделей с моторчиками лучшими оказались две модели. При встречном ветре первая модель продержалась в воздухе на $m$ мин меньше второй, но пролетела на $h$ м дальше. Скорость ветра равна $c$ м/мин, но на продолжительность полета модели ветер не влияет, от ветра зависит только дальность полета. Предполагается, что собственная скорость каждой модели все время постоянна. Какая из этих моделей пролетит большее расстояние при безветренной погоде? | Если $c<\dfrac{h}{m}$, то первая модель; если $c>\dfrac{h}{m}$, то вторая модель; если $c=\dfrac{h}{m}$, то одинаково. |
| 946. (Сканави, 13.386) | На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ между его вершинами расположены точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ так, что $AA_1 = BB_1 – CC_1 = x$. Сторона треугольника равна $a$. Найти такое значение $x$, при котором отношение площадей треугольников $A_1B_1C_1$ и $ABC$ было бы равно данному положительному числу $m$. В каких пределах можно изменять величину $m$, чтобы выполнялось условие задачи? | $\dfrac{a(3\pm\sqrt{3(4m-1)}}{6}$, где $\dfrac{1}{4}\leq m<1$ |
| 947. (Сканави, 13.387) | Из пункта $A$ отправилась моторная лодка вверх по Волге, а из пункта $B$ одновременно вышел плот по течению. Через $a$ ч они встретились и далее двигались без остановок. Дойдя до пункта $B$, лодка, не задерживаясь, повернула обратно и догнала плот в пункте $A$. Предполагается, что собственная скорость лодки была все время неизменной. Сколько времени находились в плавании плот и лодка? | $a(1+\sqrt{2})$ ч. |
| 948. (Сканави, 13.388) | Три пловца должны проплыть в бассейне дорожку длиной $50$ м, немедленно повернуть обратно и вернуться к месту старта. Сначала стартует первый, через $a$ c — второй, еще через $a$ c — третий. В некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, пловцы оказались на одном расстоянии от старта. Третий пловец, доплыв до конца дорожки и повернув назад, встретил второго в $s$ м от конца дорожки, а первого — в $r$ м от конца дорожки. Найти скорости первого и третьего пловцов и установить связь в виде неравенств между параметрами $r$ и $s$ так, чтобы задача имела решение. | $\dfrac{100s-r(50+s)}{(3s-r)a}$ и $\dfrac{100s-r(50+s)}{(r-s)a}$ м/с, где $s<r<\dfrac{100s}{50+s}$ |
| 949. (Сканави, 13.389) | От двух кусков сплава одинаковой массы, но с различным процентным содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз отрезанный кусок меньше целого? | В $2$ раза |
| 950. (Сканави, 13.390) | Колонна автомобилей, движущихся с одной и той же постоянной скоростью, имеет длину $5$ км. В последнем автомобиле находится начальник колонны, а рядом мотоциклист. По приказу начальника мотоциклист увеличил скорость, поравнялся с головной машиной, передал водителю пакет, мгновенно развернулся и с той же скоростью, с какой ехал вперед, поехал обратно на свое место. Начальник сообщил мотоциклисту, что пока тот выполнял поручение, колонна продвинулась вперед на $5$ км. Сколько километров проехал мотоциклист? | $5+5\sqrt{2}=12$ км. |
| 951. (Сканави, 13.391) | Из пунктов $A$ и $B$ одновременно выезжают два автомобиля и встречаются в $12$ ч дня. Если скорость первого удвоить, а скорость второго оставить первоначальной, то встреча произойдет на $56$ мин раньше. Если же скорость второго удвоить, а скорость первого оставить первоначальной, то они встретятся на $65$ мин раньше. Определить время встречи в том случае, когда скорость обоих автомобилей была бы удвоенной. | $10$ ч. $29$ мин. |
| 952. (Сканави, 13.392) | Из аэропорта к центру города вышел автомобиль, одновременно из центра города в аэропорт вышел автобус-экспресс. Когда первый прошел половину пути, второму осталось до конца маршрута $19,2$ км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось до конца маршрута $12$ км. Сколько километров остается пройти автобусу после того как автомобиль закончит свой маршрут? Предполагается, что скорости автомобиля и автобуса постоянны на всем пути | $6.4$ км. |
| 953. (Сканави, 13.393) | Расстояние между двумя точками равно $d$. Под действием некоторых сил обе точки начинают равномерное движение навстречу друг другу. Чтобы они встретились на середине пути, первой точке нужно начать движение на $t$ единиц времени раньше второй. Если же точки начнут сближение одновременно, то через $T$ единиц времени расстояние между ними составит $k$-ю часть ($k > 1$) первоначального расстояния. Найти скорости движения точек. | $\dfrac{d(k-l)}{2Tk}\pm\dfrac{d}{2t}\biggm( 1-\sqrt{1+\dfrac{t^2(k-1)^2}{T^2k^2}} \biggm)$ |
| 954. (Сканави, 13.394) | Два брата имели билеты на стадион, расположенный в $10$ км от их дома. Сначала они собирались идти на стадион пешком, но изменили намерение и решили воспользоваться своим велосипедом, договорившись, что один отправится на велосипеде, а другой одновременно с ним — пешком. Проехав часть пути, первый оставит велосипед, а второй, дойдя до оставленного велосипеда, поедет на нем дальше и догонит первого у входа на стадион. Сколько времени выигрывают братья при этом по сравнению с первоначальным намерением идти весь путь пешком, если каждый из них на велосипеде преодолевает километр пути на $12$ мин быстрее, чем пешком? | $1$ ч. |
| 955. (Сканави, 13.395) | Спортсмен, тренируясь в быстрой ходьбе вдоль шоссе, заметил, что каждые $6$ мин его догоняет троллейбус и каждые $3$ мин проходит встречный троллейбус. Требуется найти, через какие промежутки времени отправляются троллейбусы с конечных пунктов и во сколько раз медленнее троллейбуса шел спортсмен, если допустить, что в обе стороны троллейбусы отправляются через одинаковые промежутки времени, идут без остановок с постоянной и одинаковой скоростью. Спортсмен также идет без остановок с постоянной скоростью (рис. , где $AB$ — график движения спортсмена, прямые $M_1N_1M_2N_2$ и $Q_1P_1Q_2P_2$ — графики движения каких-либо последовательно идущих один за другим троллейбусов попутно спортсмену и навстречу ему). | Через $4$ мин; в $3$ раза $рис$ |
| 956. (Сканави, 13.396) | По расписанию учебно-тренировочных занятий сначала из пункта $A$ должен выехать один связист, а через $6$ ч — второй связист с такой скоростью, чтобы нагнать первого в $180$ км от пункта $A$. Однако в момент отправления первый связист получил распоряжение ехать со скоростью на $a$ км/ч большей, чем намечалось первоначально. Второму же связисту не разрешалось увеличивать скорость, намеченную расписанием, поэтому, чтобы точно выполнить задание, ему пришлось выехать из пункта $A$ на $3$ ч раньше, чем намечалось. Сколько часов будет в пути каждый связист? Доказать, что задача имеет смысл только при $a < 30$. | $\dfrac{3(-a+\sqrt{a^2+240a})}{2a}$ и $\dfrac{-3(3a-\sqrt{a^2+240a})}{2a}$ ч, где $a<30$ |
| 957. (Сканави, 13.397) | Два поезда выходят одновременно из $A$ и $B$ навстречу друг другу и встречаются на расстоянии $p$ км от $B$. Через $t$ ч после встречи второй поезд, миновав пункт $A$, находился в $q$ км от него, а первый в это время, миновав пункт $B$, находился от второго поезда на расстоянии вдвое большем, чем расстояние между $A$ и $B$. Найти скорости поездов и расстояние между $A$ и $B$. Поезда не имели остановок и скорости их считаются постоянными. | $\dfrac{2(2p-q)}{t}$ и $\dfrac{2p}{t}$ км/ч; $3p-q$ км, где $0\leq q<2p, p>0, t>0$ |
| 958. (Сканави, 13.398) | Два приятеля собрались на охоту. Один из них живет в $46$ км от охотничьей базы, другой, имеющий автомобиль, в $30$ км от базы — между этой базой и домом своего приятеля. Они тронулись в путь одновременно, причем владелец автомобиля поехал навстречу своему приятелю, идущему пешком. Встретившись, они вместе поехали на базу и прибыли туда через час после выхода из дома. Если бы пешеход вышел из дома на $2$ ч $40$ мин раньше владельца автомобиля, то приятели встретились бы в $11$ км от дома пешехода. Какова скорость автомобиля? Скорости движения пешехода и автомобиля считать постоянными. | $60$ км/ч. |
| 959. (Сканави, 13.399) | Поезд был задержан на станции отправления на $1$ ч $42$ мин. Получив сигнал отправления, машинист повел состав по такому графику: на участке, составляющем $0,9$ всего пути от станции отправления до станции назначения, он поддерживал скорость на $20%$ выше обычной и $0,1$ пути вел состав со скоростью на $25%$ выше обычной. В результате поезд прибыл на станцию назначения без опоздания. Какова продолжительность движения этого поезда между станциями при обычной скорости? | $10$ ч. |
| 960. (Сканави, 13.400) | На шоссе последовательно расположены пункты $D, A, C$ и $B$. Из $A$ и $B$ одновременно выехали мотоциклист и велосипедист в пункты $C$ и $D$ соответственно. Встретившись в $E$, они обменялись машинами, и каждый продолжал свой путь. В результате первый затратил на поездку от $A$ до $C$ - $6$ ч, а второй затратил на поездку от $B$ до $D$ - $12$ ч. Определить длину пути $AB$, если известно, что каждый едущий на мотоцикле развивает скорость $60$ км/ч, а на велосипеде — $25$ км/ч, и, кроме того, средняя скорость первого на пути АС равна средней скорости второго на пути $BD$ | $340$ км. |
| 961. (Сканави, 13.401) | На беговой дорожке одновременно стартовали два конькобежца на дистанцию $s$ м. Когда победитель достиг финиша, другому осталось бежать еще целый круг. Определить длину беговой дорожки, если победитель, пробегая каждый круг на $a$ с быстрее побежденного, закончил дистанцию за $t$ мин. Считается, что скорости спортсменов сохранялись постоянными на всей дистанции. | $\dfrac{s(-a+\sqrt{a^2+240at})}{120t}$ м. |
| 962. (Сканави, 13.402) | Вместимости трех сосудов $A, B, C$, каждый из которых имеет форму куба, относятся как $1 : 8 : 27$, а объемы налитой в них воды — как $1 : 2 : 3$. После переливания части воды из сосуда $A$ в сосуд $B$ и из сосуда $B$ в сосуд $C$ во всех трех сосудах получили слой воды одинаковой глубины. Затем перелили $128$ л воды из сосуда $C$ в сосуд $B$, а после этого из сосуда $B$ в сосуд $A$ столько, что глубина воды в сосуде $A$ стала вдвое больше, чем в сосуде $B$. При этом оказалось, что в сосуде $A$ имеется теперь на $100$ л воды меньше, чем было первоначально. Сколько воды было первоначально в каждом сосуде? | $500$, $1000$ и $1500$ л. |
| 963. (Сканави, 13.403) | Соревнуются три бригады лесорубов. Первая и третья бригады обработали древесины в $2$ раза больше, чем вторая, а вторая и третья — в $3$ раза больше, чем первая. Какая бригада победила в этом соревновании? | Третья |
| 964. (Сканави, 13.404) | Два человека одновременно начали спускаться по движущемуся вниз эскалатору метро, причем один шел вдвое быстрее другого. Один из них насчитал $60$ ступенек, а другой — $40$. Сколько ступенек пришлось бы им отшагать по неподвижному эскалатору? | $120$ ступенек |
| 965. (Сканави, 13.405) | Из $A$ в $B$ и из $B$ в $A$ одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму до конца пути осталось пройти $24$ км, а когда второй прошел половину пути, первому до конца пути осталось пройти $15$ км. Сколько километров останется пройти второму пешеходу после того как первый закончит переход? | $8$ км. |
| 966. (Сканави, 13.406) | Три мотоциклиста проезжают с постоянными, но различными скоростями один и тот же участок $AB$ дороги. Сначала пункт $A$ проехал первый мотоциклист, а $5$ с спустя в том же направлении — второй и третий. Через некоторое время первого мотоциклиста обогнал третий, а еще через $10$ с его обогнал и второй. За какое время первый мотоциклист проедет расстояние $AB$, если второй проехал это расстояние за $1$ мин, а третий — за $40$ с? | За $80$ с. |
| 967. (Сканави, 13.407) | К берегу водохранилища подошли трое: $A, B и B$; $A$ отправился на противоположный берег вплавь со скоростью $v$ км/ч; одновременно $B$ и $C$ отправились на моторной лодке со скоростью $10v$ км/ч. Через некоторое время $C$ решил остаток пути преодолеть вплавь и поплыл с той же скоростью, что и $A$. В тот же момент $B$ повернул назад, чтобы взять в лодку $A$, который быстро сел в нее и продолжил путь вместе с $B$. На противоположном берегу все трое оказались одновременно. Определить время переправы, если известно, что ширина водохранилища равна $b$ км (скорость течения предполагается равной нулю). | $\dfrac{31b}{130v}$ ч. |
| 968. (Сканави, 13.408) | Между пунктами $A$ и $B$, удаленными друг от друга на $3,01$ м, совершает колебательное движение материальная частица $m_1$. Скорость ее постоянна по величине, и на конечных пунктах она не задерживается. Через $11$ с после выхода частицы $m_1$ из пункта $A$ другая частица $m_2$ начинает двигаться из пункта $B$ также с постоянной, но меньшей скоростью. Эта частица, двигаясь в направлении пункта $A$, дважды встречается с частицей $m_1$, а именно через $10$ и $45$ с после выхода второй частицы. Определить скорости частиц. | $11$ и $7$ см/с. |
| 969. (Сканави, 13.409) | Самоходный каток, употребляемый для ремонта дорог, в состоянии укатывать полосу шириной $0,85$ м, причем каждая следующая полоса перекрывает предыдущую на $0,25$ ширины. С какой скоростью должен двигаться этот каток, чтобы за время, не большее $6$ ч и не меньшее $5$ ч, можно было дважды провести укатку участка шоссе длиной $750$ м и шириной $6,5$ м? | От $2,5$ до $3$ км/ч. |
| 970. (Сканави, 13.410) | Вдоль сторон прямого угла по направлению к вершине движутся два шара с радиусами $2$ и $3$ см, причем центры этих шаров перемещаются по сторонам угла с неравными, но постоянными скоростями. В некоторый момент времени центр меньшего шара находится на расстоянии 6 см от вершины, а центр большего — на расстоянии $16$ см. Через $1$ с расстояние между центрами стало $13$ см, а еще через $2$ с шары ударились, не дойдя до вершины. Найти скорости шаров. | $1$ и $4$ см/с. |
| 971. (Сканави, 13.411) | Две точки $A$ и $B$, первоначальное расстояние между которыми равно $a$, одновременно начали двигаться по разным сторонам прямого угла к его вершине с одной и той же постоянной скоростью $v$. Точка $B$ достигает вершины на $t$ единиц времени раньше, чем точка $A$ (все измерения выполнены в одной системе единиц). Определить, сколько времени двигалась точка $A$. Какое значение надо придать величине $a$, чтобы искомое время приняло наименьшее из возможных его значений? | $\dfrac{vt+\sqrt{2a^2-v^2t^2}}{2v}$; $a=\dfrac{vt}{\sqrt{2}}$ |
| 972. (Сканави, 13.412) | Три фермы расположены не на одной прямой, но соединены прямолинейными дорогами. Расстояние от первой фермы до третьей через вторую вчетверо длиннее прямолинейного пути между ними; расстояние от первой фермы до второй через третью на $a$ км длиннее прямолинейного пути; расстояние от второй фермы до третьей через первую равно $85$ км. В каком интервале находится все значения $a$, для которых было бы возможным указанное расположение ферм? Вычислить расстояния между фермами при $a = 5$. | $0<a<68$ при $a=5$ расстояния между фермами $60$, $40$ и $25$ км. |
| 973. (Сканави, 13.413) | Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить $20$ г и сплавить их с $2$ г олова, то во вновь получившемся сплаве масса меди будет равна массе олова. Если же отделить от первоначального сплава $30$ г и прибавить $9$ г цинка, то в этом новом сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить процентное содержание металлов в первоначальном сплаве. | $50$, $40$ и $10%$ |
| 974. (Сканави, 13.414) | Из двух пунктов $A$ и $B$ одновременно выехали два инспектора к месту происшествия, в пункт $C$. Первый инспектор прибыл в $C$ через $a$ мин. Если второй инспектор будет стремиться попасть из $B$ в $C$ одновременно с первым, то ему придется на проезд каждого километра затрачивать на $c$ мин меньше, чем первому, так как расстояние от $B$ до $C$ на $b$ км больше расстояния от $A$ до $C$. На каком расстоянии от пункта $A$ случилось происшествие? | $\dfrac{\sqrt{b^2c^2+4abc}-bc}{2c}$ км; $a, b, c$ - произвольные положительные числа. |
| 975. (Сканави, 13.415) | Два велосипедиста выехали одновременно из $A$ и $B$ навстречу друг другу. Первый прибыл в $B$ через $4$ ч после встречи, второй прибыл в $A$ через $9$ ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый велосипедист? | $10$ и $15$ ч. |
| 976. (Сканави, 13.416) | На складе имеется некоторое число бочек двух образцов общей вместимостью $7000$ л. Если бы все бочки были первого образца, то вместимость всех бочек увеличилась бы на $1000$ л. Если же все бочки были второго образца, то вместимость уменьшилась бы на $4000$ л. Найти вместимость всех бочек каждого образца в отдельности. | $6400$ и $600$ л. |
| 977. (Сканави, 13.417) | К цветущей яблоне полетел шмель со скоростью $v_1$ м/мин. Одновременно к другой яблоне полетела пчела со скоростью $v_2$ м/мин. При этом шмелю нужно было преодолеть расстояние в $2a$ м, а пчеле — расстояние в $2b$ м. Предположим, что траектории их полета — взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке, делящей пополам и путь шмеля, и путь пчелы. Найти формулу, выражающую зависимость расстояния y между шмелем и пчелой от времени $x$ их полета. Установить момент, когда в полете шмеля и пчелы расстояние между ними достигает наименьшего значения. Исследовать, пролетит ли пчела или шмель точку пересечения их траекторий к моменту, когда будет достигнуто наименьшее расстояние между шмелем и пчелой. | Через $\dfrac{av_1+bv_2}{v_1^2+v_2^2}$ мин от начала полета |
| 978. (Сканави, 13.418) | Два велосипедиста выезжают одновременно из пункта $A$ с различными (но для каждого постоянными) скоростями и едут к пункту $B$. Достигнув его, они тотчас же едут обратно. Первый велосипедист, ехавший быстрее второго, на обратном пути встречает второго на расстоянии $a$ км от $B$ затем, достигнув $A$, едет снова по направлению к $B$ и, пройдя $k$-ю часть пути $AB$, встречает второго велосипедиста, возвращающегося из $B$. Найти расстояние от $A$ до $B$. | $2ak$ км. |
| 979. (Сканави, 13.419) | Два поезда длиной в $490$ и $210$ м равномерно движутся навстречу друг другу по параллельным путям. Машинист одного из них заметил встречный состав на расстоянии $700$ м; после этого через $28$ с поезда встретились. Определить скорость каждого поезда, если известно что один из них проезжает мимо светофора на $35$ с дольше другого. | $36$ и $54$ км/ч. |
| 980. (Сканави, 13.420) | Кортеж автомобилей с космонавтами равномерно движется по проспекту со скоростью $v$ км/ч. Протяженность кортежа постоянно сохраняется равной $m$ м. Букет цветов, брошенный из окна дома, попал в коляску мотоциклиста, ехавшего позади кортежа. Мотоциклист проехал вперед, передал букет космонавту, находившемуся в первом автомобиле, и тотчас отправился обратно. На проезд туда и обратно вдоль движущегося кортежа мотоциклисту потребовалось $t$ мин. Вычислить скорость мотоциклиста, если она на всем пути была одинакова. | $\dfrac{3m+\sqrt{9m^2+2500t^2v^2}}{50t}$ км/ч. |
| 981. (Сканави, 13.421) | Если двузначное число разделить на некоторое целое число, то в частном получится $3$ и в остатке $8$. Если же в делимом поменять местами цифры, а делитель оставить прежним, то в частном получится $2$, а в остатке $5$. Найти первоначальное значение делимого. | $53$ |
| 982. (Сканави, 13.422) | Арбузы, привезенные на базу, предназначены для двух магазинов. Первый магазин сразу приступил к перевозке арбузов и перевозил их ежедневно одинаковыми по массе порциями. Второй магазин приступил к перевозке арбузов на $a$ дней позже и также перевозил их ежедневно одинаковыми по массе, но иными, чем первый магазин, порциями. Через $b$ дней, прошедших от начала перевозочных операций, на базе осталась половина первоначального количества арбузов. За сколько дней были вывезены все арбузы с базы, если перевозка закончилась одновременно и масса арбузов, полученных первым магазином, равна массе арбузов, полученных вторым магазином? | За $b+\sqrt{b(b-a)}$ дней. |
| 983. (Сканави, 13.423) | В бригаде землекопов каждый работает ежедневно по одинаковому числу часов. Известно, что производительность труда одинакова у всех рабочих бригады и при этом бригада может вырыть канаву для укладки кабеля за $6$ дней. Однако еще до начала работы выяснилось, что рабочий день сокращается на $1$ ч, а состав бригады уменьшается на $5$ человек. В таком случае канава может быть вырыта за $9$ дней. В действительности эту канаву рыли $12$ дней, так как рабочий день был сокращен не на $1$ ч, а на $2$ ч и два человека не вышли на работу по болезни. Сколько рабочих было в бригаде первоначально и сколько часов в день они работали? | $21$ человек; $6$ ч. |
| 984. (Сканави, 13.424) | Три машины производят некоторую работу. Если эту работу будет выполнять одна первая, то она завершит работу на $a$ дней позже, чем при работе всех машин вместе. Если же эту работу будет выполнять вторая, то она завершит ее на $b$ дней позже, чем все вместе, а если третья, то ей потребуется в $c$ раз больше времени, чем всем машинам вместе. За сколько дней выполняет работу каждая из машин в отдельности? | $a+\dfrac{\sqrt{D}-(a+b)}{2(c+1)}$; $b+\dfrac{\sqrt{D}-(a+b)}{2(c+1)}$; $\dfrac{c(\sqrt{D}-(a+b))}{2(c+1)}$, где $D=(a-b)^2+4abc^2, c>1$ |
| 985. (Сканави, 13.425) | Имеется $n$ мензурок с жидкостью. Из первой мензурки перелили имеющейся там жидкости во вторую мензурку, затем из второй мензурки оказавшейся там после переливания из первой мензурки жидкости перелили в третью мензурку и т. д. Наконец, из $n$-й мензурки перелили оказавшейся в ней после переливания из предыдущей мензурки жидкости снова в первую мензурку. После этого в каждой мензурке оказалось по $а$ $см^3$ жидкости. Сколько жидкости было первоначально в каждой мензурке? | В первой $\dfrac{an(n-2)}{(n-1)^2}$ $см^3$; во второй $\dfrac{a(n^2-2n+2)}{(n-1)^2}$ $см^3$; во всех остальных по $a$ $см^3$ |
| 986. (Сканави, 13.426) | Для наполнения водой бассейна были поставлены два насоса. Один первый насос может наполнить бассейн на $8$ ч быстрее, чем один второй. Сначала был открыт только один второй насос на время, равное удвоенному количеству времени, которое потребовалось бы для наполнения бассейна при одновременном действии обоих насосов. Затем открыли также первый насос и через $1,5$ ч после того как был открыт первый насос, бассейн наполнился водой. За сколько часов каждый из насосов, работая порознь, может наполнить бассейн? | За $4$ и $12$ ч. |
| 987. (Сканави, 13.427) | Пройдя через пористый фильтрующий материал, жидкость равномерной струей вливается в $40$-ведерную бочку и может выливаться через кран, имеющийся в дне бочки. Если этот кран открыт, то приток и отток жидкости таковы, что за каждые $4$ мин в бочке убавляется одно ведро. За какое время отфильтрованная жидкость наполнит пустую бочку при закрытом нижнем кране, если известно, что для этого потребуется на $3$ мин меньше того времени, за которое открытый нижний кран способен пропустить $66$ ведер? | За $96$ и за $5$ мин. |
| 988. (Сканави, 13.428) | Партия одинаковых деталей обрабатывалась на трех станках разных конструкций в такой последовательности: сначала действовал только $I$ станок столько часов, сколько потребовалось бы для совместного выполнения всей работы на $II$ и $III$ станках; затем действовал только $II$ станок столько часов, сколько потребовалось бы для совместного выполнения всей работы на $I$ и $III$ станках. Остальная часть партии деталей была обработана на $III$ станке в течение стольких часов, сколько потребовалось бы для совместного выполнения всей работы на $I$ и $II$ станках. Во сколько раз быстрее была бы выполнена эта работа, если бы действовали совместно все три станка? | В $4$ раза |
| 989. (Сканави, 13.429) | Сначала катер шел $a$ км по озеру, а затем половину этого расстояния по реке, впадающей в озеро. Весь рейс продолжался $1$ ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки равна $c$ км/ч. При каком соотношении между $c$ и $a$ рейс неосуществим? | $0.25(3a+2c+\sqrt{4c^2-4ac+9a^2})$ км/ч; задача имеет решение при любых $a>0, c>0$ |
| 990. (Сканави, 13.430) | Из Москвы в город $N$ пассажир может отправиться поездом. В этом случае он пробудет в пути $20$ ч. Если же он дождется отправления самолета (а ждать придется более $5$ ч после отправления поезда), то пассажир доберется до города $N$ через $10$ ч, включая и время ожидания. Протяженности трассы самолета и железнодорожного пути одинаковы. Во сколько раз скорость самолета превышает скорость поезда, если известно, что самолет окажется над этим поездом через ч после отправления из аэропорта и пролетит к этому моменту столько же километров, сколько пройдет поезд? | В $10$ раз |
| 991. (Сканави, 13.431) | Известно, что разность переменных величин $y$ и $z$ пропорциональна величине $x$, а разность величин $z$ и $x$ пропорциональна величине $y$. Коэффициенты этих пропорциональностей равны соответственно $k_1$ и $k_2$. Некоторое значение величины $z$ в $3$ раза больше разности соответствующих значений $x$ и $y$. Доказать, что если каждый из коэффициентов $k_1$ и $k_2$ увеличить на $3$, то произведение полученных чисел будет равно числу $8$ (предполагается, что величины $x$ и $y$ не принимают нулевых значений). | |
| 992. (Сканави, 13.432) | Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на $a$ с меньше, чем второй. Если они начинают пробег с общего старта и в одном направлении, то сходятся через каждые $b$ с. Через какое время они встретятся, если побегут в противоположных направлениях по той же дорожке с прежними скоростями? | Через $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+4ab}}$ с. |
| 993. (Сканави, 13.433) | Предприятие $A$, потребляющее лед, закупает его в пункте $B$ по цене $a$ р. за тонну. Иногда этому предприятию приходится закупать лед в другом пункте $C$ по цене $1,5a$ р. за тонну. Оба изготовителя сами доставляют потребителю $A$ закупленный им лед, начисляя за перевозку по $p$ р. За тонно-километр. Потеря в массе, происходящая при транспортировке от таяния льда, составляет $0,001n$ его начальной массы на километр пути. Предприятие $A$ расположено между $B$ и $C$, и каждая тонна фактически полученного льда обходится предприятию $A$ одинаково (в рублях) при доставке как из пункта $B$, так и из пункта $C$. Во сколько рублей обходится предприятию $A$ тонна получаемого льда, если известно, что расстояние от $B$ до $C$ через $A$ равно $s$ км? | $\dfrac{1000(2.5a+sp)}{2000-sp}$ р; задача имеет решение при $sn<2000$ |
| 994. (Сканави, 13.434) | Доказать, что куб наибольшего из трех последовательных натуральных чисел не может быть равен сумме кубов двух других чисел. | |
| 995. (Сканави, 13.435) | Искомое число больше $400$ и меньше $500$. Найти его, если сумма его цифр равна $9$ и оно равно числа, изображенного теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. | $423$ |
| 996. (Сканави, 13.436) | На участке реки от $A$ до $B$ течение так невелико, что им можно пренебречь; на участке от $B$ до $C$ течение оказывает заметное влияние на движение лодки. Лодка покрывает расстояние вниз от $A$ до $C$ за $6$ ч, а вверх от $C$ до $A$ за $7$ ч. Если бы на участке от $A$ до $B$ течение было бы таким же, как на участке от $B$ до $C$, то весь путь от $A$ до $C$ занял бы $5,5$ ч. Какое время в этом случае понадобилось бы той же лодке на движение вверх от $C$ до $A$? Собственная скорость лодки принимается неизменной во всех случаях. | $7.7$ ч. |
| 997. (Сканави, 13.437) | На какое целое положительное число надо разделить $180$, чтобы остаток составлял $25%$ от частного? | На $11$ |
| 998. (Сканави, 13.438) | Смешав по $2$ $см^3$ трех веществ, получили $16$ г смеси. Известно, что $4$ г второго вещества занимают объем, на $0,5$ $см^3$ больший, чем $4$ г третьего вещества. Найти плотность третьего вещества, если известно, что масса второго вещества в смеси вдвое больше массы первого. | $4$ $г/см^3$ |
| 999. (Сканави, 13.439) | Если двузначное число увеличить на $46$, то получится число, произведение цифр которого равно $6$. Найти искомое число при условии, что сумма его цифр равна $14$. | $77$ или $86$ |
| 1000. (Сканави, 13.440) | Даны две взаимно перпендикулярные оси $O_x$ и $O_y$, а также точка $A (a; a)$, где $a > 0$. Требуется найти координаты такой точки $M$ на оси $O_x$ и такой точки $P$ на оси $O_y$, чтобы треугольник $AMP$ был равносторонним. | $M_1(a\sqrt{a}-a; 0), P_1(0; a\sqrt{3}-a)$; |
| 1001. (Сканави, 13.441) | На расстоянии $l$ м от моста $A$ вниз по течению реки расположен мост $B$. Когда спортсмен проплывал мимо моста $A$, направляясь к мосту $B$, ему бросили два мяча. Первый мяч он подхватил, а второй оставил плыть по течению. Проплыв с мячом некоторый участок реки, спортсмен оставил этот мяч и поплыл вверх по реке за вторым мячом. Подхватив второй мяч, снова повернул по направлению к мосту $B$ и достиг его одновременно со свободно плывшим первым мячом. Какое расстояние пришлось проплыть спортсмену, если его собственная скорость все время была в $k$ раз больше скорости течения? | $\dfrac{l(3k+1)}{k+3}$ м. |
| 1002. (Сканави, 13.442) | В магазин поступил товар $1$-го и $2$-го сортов на общую сумму в $450$ млн. р. Дополнительная экспертиза установила, что весь поступивший товар можно продавать только по цене $2$-го сорта, в результате чего фирма потерпела бы убыток в $50$ млн. р. Продавцы магазина безвозмездно не только устранили дефекты в товаре $1$-го сорта, но и довели товар $2$-го сорта до кондиции $1$-го сорта. Получив после этого разрешение продавать весь товар по цене $1$-го сорта, магазин дал фирме прибыль в $30$ млн. р. В какую сумму оценивался первоначально весь товар $1$-го сорта и весь товар $2$-го сорта отдельно? | $300$ и $150$ млн. р. |
| 1003. (Сканави, 13.443) | В колбе имеется раствор соли. Из колбы отливают раствора в пробирку, а раствор, оставшийся в колбе, выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли не повысится вдвое. После этого вливают в колбу раствор из пробирки. В результате содержание соли в растворе повысилось на $p%$ по сравнению с первоначальным. Определить процентное содержание соли в первоначальном растворе. Какую часть первоначального раствора следовало отлить, чтобы в результате описанной процедуры процентное содержание соли увеличилось в $1,5$ раза? | $\dfrac{p(n+1)}{n-1}$; $\dfrac{1}{3}$ |
| 1004. (Сканави, 13.444) | Зная длины сторон треугольника, ученик выразил его площадь и обратил внимание на то, что значениями длин сторон и площади этого треугольника являются соответственно четыре последовательных целых числа. Каковы длины сторон треугольника? | $3; 4; 5$ |
| 1005. (Сканави, 13.445) | На столе стоит цилиндрическая банка с водой. Радиус основания банки равен $R$. Если в банку опустить шарик радиуса $r$, то он ляжет на дно банки, а поверхность воды при этом поднимется настолько, что окажется касательной к шарику. Доказать, что произойдет то же самое, если в эту банку с тем же количеством воды опустить вместо данного шарика шарик другого радиуса. Найти радиус нового шарика и установить условия, при которых он будет больше или меньше радиуса данного шарика. | $r_1=\dfrac{-r+\sqrt{6R^2-3r^2}}{2}$; $r<r_1\leq R$ при $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\leq \dfrac{r}{R} < \dfrac{\sqrt{2}}{2}; r_1<r<R$ при $\dfrac{\sqrt{2}}{2}<\dfrac{r}{R}\leq 1$ |
| 1006. (Сканави, 13.446) | Из одного и того же пункта одновременно в одном направлении по прямолинейному участку шоссе с постоянными, но различными Скоростями вышли два пешехода. Через $2$ ч расстояние между ними было $s$ км. После этого пешеходы стали идти быстрее и затрачивать на каждый километр пути на 10 мин меньше. Еще через $2$ ч расстояние между ними стало равным $3s$ км. Найти расстояния, пройденные пешеходами за первые два часа движения. | $0.5(24+s-\sqrt{s^2+228})$ и $0.5(24-s-\sqrt{(s^2+288})$ км; $s<6$ |
| 1007. (Сканави, 13.447) | Сравнивая два бруска, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, установили, что длина, ширина и высота второго бруска соответственно на $1$ см больше, чем у первого бруска, а объем и полная поверхность второго бруска соответственно на $18$ $см^3$ и $30$ $см^2$ больше, чем у первого. Какова величина полной поверхности первого бруска? | $22$ $см^2$ |
| 1008. (Сканави, 13.448) | Со станции $A$ отошли два электропоезда с интервалом в $12$ мин и практически сразу развили одинаковую скорость $50$ км/ч. Они едут в одном направлении без остановок, сохраняя указанную скорость неизменной. С какой постоянной скоростью шел встречный поезд, если он повстречал эти электропоезда через $5$ мин один после другого? | $70$ км/ч. |
| 1009. (Сканави, 13.449) | Искомое трехзначное число начинается с цифры $1$. Если ее стереть и затем ее же приписать в качестве последней цифры числа, то полученное новое трехзначное число будет больше искомого на . Найти число. | $121$ |
| 1010. (Сканави, 13.450) | Если при начале отсчета времени было $m_0$ г вещества $A$ и $2m_0$ г вещества $B$, то через любое число $t$ лет, в результате радиоактивного распада, этих веществ останется соответственно и $m=m_0\cdot 2^{2\lambda_1 t}$ и $M=2m_0\cdot 2^{2\lambda_2 t}$, где $\lambda_1$ и $\lambda_2$ — постоянные, зависящие от природы веществ. Вычислить период полураспада каждого из этих веществ, т. е. найти, через сколько лет от каждого вещества останется только половина его первоначального количества, если известно, что период полураспада вещества $B$ в $2$ раза меньше, чем вещества $A$, и что через $20$ лет общая масса этих веществ уменьшается в $8$ раз. | $10$ и $5$ лет |