Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$.

Докажем, что $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$.

Проведем через вершину $B$ прямую $a$, параллельную стороне $AC$.

Тогда $\angle 1=\angle 4, \angle 3=\angle 5$, как накрест лежащие.

Тогда $\angle1 + \angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 2+\angle 5=180^\circ$.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ смежные, поэтому $\angle 4=180^\circ-\angle 3=180^\circ-(180^\circ-\angle1-\angle 2)=\angle 1+\angle2$.

Если биссектрисы углов $B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$, то $\angle BMC=90^\circ+\frac{1}{2}\angle A$.

Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.