$AD^{2}=AB^{2}\cdot\dfrac{DC}{BC}+A C^{2}\cdot \dfrac{BD}{BC}-BD \cdot DC$

По теореме косинусов для треугольников $ADB$ и $ADC$ имеем:

$A B^{2}=B D^{2}+A D^{2}-2 AD \cdot BD\cdot \cos \angle A D B$

$A C^{2}=A D^{2}+D C^{2}-2 AD\cdot DC\cdot \cos \angle A D C=A D^{2}+D C^{2}+2 A D \cdot D C\cdot \cos \angle A D B$

Первое уравнение домножим на $DC$, а второе на $BD$:

$AB^{2}\cdot DC=BD^{2}\cdot DC + AD^{2}\cdot DC - 2 AD \cdot BD \cdot DC\cdot \cos \angle ADB$

$AC^{2}\cdot BD=AD^{2}\cdot BD + DC^{2}\cdot BD + 2 AD \cdot DC \cdot BD\cdot \cos \angle ADB$

Сложим последние два уравнения:

$AB^{2}\cdot DC+AC^{2}\cdot BD=BD^{2}\cdot DC + AD^{2}\cdot DC + AD^{2}\cdot BD + DC^{2}\cdot BD$

$AD^{2}\cdot(D C+B D)=AB^{2}\cdot DC + AC^{2}\cdot BD - BD^{2}\cdot DC - DC^{2}\cdot BD$

$AD^{2}\cdot(D C+B D)=AB^{2}\cdot DC + AC^{2}\cdot BD - BD \cdot DC(BD+DC)$

$AD^{2}=\dfrac{AB^{2}\cdot DC}{BD+DC}+\dfrac{AC^{2}\cdot BD}{BD+DC} - BD \cdot DC$

$AD^{2}=\dfrac{AB^{2}\cdot DC}{BC}+\dfrac{A C^{2}\cdot BD}{BC}-BD \cdot DC$

$AD^{2}=AB^{2}\cdot\dfrac{DC}{BC}+A C^{2}\cdot \dfrac{BD}{BC}-BD \cdot DC$

По теореме косинусов для треугольников $ADB$ и $ADC$ имеем:

$c^{2}=c_1^{2}+d^{2}-2 c_1 \cdot d\cdot \cos\varphi$

$b^{2}=b_1^{2}+d^{2}-2 b_1\cdot d\cdot \cos(180^\circ-\varphi)=b_1^{2}+d^{2}+2 b_1\cdot d\cdot \cos\varphi$

Первое уравнение домножим на $b_1$, а второе на $c_1$:

$c^{2}\cdot b_1=c_1^{2}\cdot b_1 + d^{2}\cdot b_1 - 2 d \cdot c_1 \cdot b_1\cdot \cos \varphi$

$b^{2}\cdot c_1=d^{2}\cdot c_1 + b_1^{2}\cdot c_1 + 2 d \cdot c_1 \cdot b_1\cdot \cos \varphi$

Сложим последние два уравнения:

$с^{2}\cdot b_1+b^{2}\cdot c_1=c_1^{2}\cdot b_1 + d^{2}\cdot b_1 + d^{2}\cdot c_1 + b_1^{2}\cdot c_1$

В правой части равенства сгруппируем второе и третье слагаемое, а также первое и четвертое слагаемое:

$с^{2}\cdot b_1+b^{2}\cdot c_1=c_1b_1(c_1+b_1) + d^{2}(b_1+ c_1)$

$с^{2}\cdot b_1+b^{2}\cdot c_1=c_1b_1\cdot a + d^{2}\cdot a$

$d^2 = c^2 \cdot \dfrac{b_1}{a}+ b^2\cdot \dfrac{c_1}{a}-b_1 c_1$