Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пусть $MN$ - средняя линия трапеции $ABCD$.

Докажем, что $MN\parallel AD$ и $\frac{AD+BC}{2}=MN$.

По правилу многоугольника имеем:

• $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$
• $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$

Сложив эти равенства, получим:

$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}$.

Но $M$ и $N$ - середины сторон $AB$ и $CD$, поэтому

$\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$ и $\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{0}$.

Следовательно, $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$.

Откуда $\overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}}{2}$.

Так как векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$ сонаправлены, то векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{AD}$ также сонаправлены, и $|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}|=|AD|+|BC|$.

Отсюда следует, что $MN\parallel AD$ и $MN$ = $\frac{AD+BC}{2}$.