Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Пусть стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ пропорциональны: $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{CA}{C_1A_1}$.

Докажем, что $\triangle ABC\sim \triangle A_1B_1C_1$.

Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что $\angle A=\angle A_1$. Рассмотрим треугольник $ABC_2$, у которого $\angle 1=\angle A_1, \angle 2=\angle B_1$.

Треугольники $ABC_2$ и $A_1B_1C_1$ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC_2}{B_1C_1}=\dfrac{C_2A}{C_1A_1}$.

Сравнивая эти равенства с первой пропорцией подобия, получаем: $BC=BC_2, CA=C_2A$.

Тогда треугольники $ABC$ и $ABC_2$ равны по трем сторонам.

Отсюда следует, что $\angle A=\angle 1$, a так как $\angle 1=\angle A_1$, то $\angle A=\angle A_1$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со сторонами $a, b, c$ и $a_1, b_1, c_1$.

Докажем, что если $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}=\dfrac{c}{c_1}$, то $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.

Обозначим $k=\dfrac{a}{a_1}$.

Тогда $a=ka_1, b=kb_1, c=kc_1$.

По теореме косинусов имеем $$\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{k^2a_1^2+k^2b_1^2-k^2c_1^2}{2ka_1kb_1}=\frac{k^2(a_1^2+b_1^2-c_1^2)}{k^22a_1b_1}=\frac{a_1^2+b_1^2-c_1^2}{2a_1b_1}=\cos{C_1}.$$

следовательно, $\angle C=\angle C_1$.

Аналогично $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$.

То есть углы треугольников соответственно равны, а стороны пропорциональны, следовательно $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.