Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Содержание

Основные формулы тригонометрии

Если α – острый угол прямоугольного треугольника, то

  1. sin2α+cos2α=1
  2. tan2α+1=1cos2α
    1. sin(90α)=cosα
    2. cos(90α)=sinα
    3. tan(90α)=cotα

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором C=90,A=α,BC=a,AC=b,AB=c.

Тогда

sin2α+cos2α=a2c2+b2c2=a2+b2c2=c2c2=1.

Если угол α тупой, то sinα=sin(180α) и cosα=cos(180α).

А так как угол 180α – острый, то 1=sin2(180α)+cos2(180α)=sin2α+(cosα)2=sin2α+cos2α.

Докажем второй пункт теоремы.

tan2α+1=sin2αcos2α+1=sin2α+cos2αcos2α=1cos2α.

Докажем третий пункт теоремы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором C=90,A=α,BC=a,AC=b,AB=c. Тогда sin(90α)=sinB=bc=cosα, cos(90α)=cosB=ac=sinα, tan(90α)=tanB=ba=cotα.

Значения тригонометрических функций стандартных углов

  1. sin30=12,cos30=32,tan30=13.
  2. sin60=32, cos60=12, tan60=3
  3. sin45=22, cos45=22, tan45=1.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором \aB=30.

Тогда катет AC в два раза меньше гипотенузы AB: AC=x,AB=2x.

По теореме Пифагора BC=4x2x2=x3.

Тогда

sinB=sin30=x2x=12,

cosB=cos30=x32x=32,

tanB=tan30=xx3=13,

cosA=cos60=x32x=32,

sinA=sin60=x2x=12,

tanA=tan60=x3x=3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором \aC=90,A=B=45.

Обозначим BC=AC=x, тогда по теореме Пифагора AB=x2+x2=x2.

Тогда sinA=sin45=xx2=cosA=cos45.