Если α – острый угол прямоугольного треугольника, то
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠C=90∘,∠A=α,BC=a,AC=b,AB=c.
Тогда
sin2α+cos2α=a2c2+b2c2=a2+b2c2=c2c2=1.
Если угол α тупой, то sinα=sin(180∘−α) и cosα=−cos(180∘−α).
А так как угол 180∘−α – острый, то 1=sin2(180∘−α)+cos2(180∘−α)=sin2α+(−cosα)2=sin2α+cos2α.
tan2α+1=sin2αcos2α+1=sin2α+cos2αcos2α=1cos2α.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠C=90∘,∠A=α,BC=a,AC=b,AB=c. Тогда sin(90∘−α)=sinB=bc=cosα, cos(90∘−α)=cosB=ac=sinα, tan(90∘−α)=tanB=ba=cotα.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором \aB=30∘.
Тогда катет AC в два раза меньше гипотенузы AB: AC=x,AB=2x.
По теореме Пифагора BC=√4x2−x2=x√3.
Тогда
sinB=sin30∘=x2x=12,
cosB=cos30∘=x√32x=√32,
tanB=tan30∘=xx√3=1√3,
cosA=cos60∘=x√32x=√32,
sinA=sin60∘=x2x=12,
tanA=tan60∘=x√3x=√3.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором \aC=90∘,∠A=∠B=45∘.
Обозначим BC=AC=x, тогда по теореме Пифагора AB=√x2+x2=x√2.
Тогда sinA=sin45∘=xx√2=cosA=cos45∘.