Нормаль к плоскости Смешанное произведение векторов Векторное произведение
1 1 1
$\vec{n}_\alpha=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{array}\right|$

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$
$\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z)$ 		$(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z\end{array}\right|$

$\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z), \vec{c}=(c_x;c_y;c_z)$ 		$\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{array}\right|$

$\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z)$

Углы

Угол между двумя прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между двумя плоскостями
1 1 1
$\angle (l_1;l_2)=\angle(\vec{a}, \vec{b})$
(оба угла должны быть острыми)

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ – направляющие вектора прямых $l_1$ и $l_2$ 		$\angle(l;\alpha)=90^\circ-\angle(\vec{a},\vec{n}_\alpha)$
(угол $\angle(\vec{a},\vec{n}_\alpha)$ должен быть острым)

$\vec{a}$ – направляющий вектор прямой $l$
$\vec{n}_\alpha$ – нормаль к плоскости $\alpha$ 		$\angle(\alpha;\beta)=\angle(\vec{n}_1;\vec{n}_2)$
(угол $\angle(\vec{n}_1;\vec{n}_2)$ должен быть острым)

$\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ – нормали к плоскостям $\alpha$ и $\beta$

Расстояния и объёмы

Расстояние от точки до плоскости Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми Объём тетраэдра Объём параллелепипеда
111 1
$\rho(A;\alpha)=\left|\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\right|$

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$
$\vec{c}$ соединяет точку $A$ и любую точку из плоскости $\alpha$		$\rho(l_1;l_2)=\left|\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\right|$

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ – направляющие вектора прямых
$\vec{c}$ произвольный вектор, соединяющий прямые $l_1$ и $l_2$		$V=\dfrac{1}{6}\left|(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\right|$ $V=\left|(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\right|$