Содержание
Определители
Два на два
$\left|\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right|=a\cdot d-b\cdot c$
Три на три
$\left|\begin{array}{ccс} x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{array}\right|=x_1\cdot\left|\begin{array}{cc}y_2&y_3\\z_2&z_3\end{array}\right|-x_2\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_3\\z_1&z_3\end{array}\right|+x_3\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_2\\z_1&z_2\end{array}\right|$
Три на три с векторами
$\left|\begin{array}{ccс}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{array}\right|=\vec{i}\cdot\left|\begin{array}{cc}y_2&y_3\\z_2&z_3\end{array}\right|-\vec{j}\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_3\\z_1&z_3\end{array}\right|+\vec{k}\cdot\left|\begin{array}{cc}y_1&y_2\\z_1&z_2\end{array}\right|=\left(y_2z_3-y_3z_2;-y_1z_3+y_3z_1; y_1z_2-y_2z_1\right)$
Основные формулы
| Координаты вектора | Длина вектора | Середина отрезка | Точка на отрезке |
|---|---|---|---|
 |  |  |  |
| $\overrightarrow{AB}=(x_1-x_2; y_1-y_2;z_1-z_2)$ $A(x_1;y_1;z_1);$ $B(x_2;y_2;z_2)$ | $|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z)$ | $M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}, \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$ | $C=\left(\dfrac{\beta x_1+\alpha x_2}{\alpha+\beta}, \dfrac{\beta y_1+\alpha y_2}{\alpha+\beta}, \dfrac{\beta z_1+\alpha z_2}{\alpha+\beta}\right)$ |
| Скалярное произведение | Проекция вектора на вектор | Угол между векторами |
|---|---|---|
 |  |  |
| $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ $\vec{a}=(x_1;y_1;z_1);$ $\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)$ | $pr_{\vec{a}}(\vec{b})=\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}\right|$ | $\angle(\vec{a},\vec{b})=\arccos\left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)$ |
| Нормаль к плоскости | Смешанное произведение векторов | Векторное произведение |
|---|---|---|
 |  |  |
| $\vec{n}_\alpha=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{array}\right|$ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z)$ | $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z\end{array}\right|$ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z), \vec{c}=(c_x;c_y;c_z)$ | $\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{array}\right|$ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z)$ |
Углы
| Угол между двумя прямыми | Угол между прямой и плоскостью | Угол между двумя плоскостями |
|---|---|---|
 |  |  |
| $\angle (l_1;l_2)=arccos\left(\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right|\right)$ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ – направляющие вектора прямых $l_1$ и $l_2$ | $\angle(l;\alpha)=arcsin\left(\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{n}_\alpha}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}_\alpha|}\right|\right)$ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$ $\vec{c}$ соединяет точку $A$ и любую точку из плоскости $\alpha$ | $\angle(\alpha;\beta)=arccos\left(\left|\dfrac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}\right|\right)$ $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ – нормали к плоскостям $\alpha$ и $\beta$ |
Расстояния
| Расстояние между двумя точками | Расстояние от точки до прямой | Расстояние от точки до плоскости | Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми |
|---|---|---|---|
 |  |  |  |
| $|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$ $A(x_1;y_1;z_1)$ $B(x_2;y_2;z_2)$ | $\rho(A;l)=\dfrac{|\vec{a}\times\vec{c}|}{|\vec{a}|}$ | $\rho(A;\alpha)=\left|\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\right|$ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$ $\vec{c}$ соединяет точку $A$ и любую точку из плоскости $\alpha$ | $\rho(l_1;l_2)=\left|\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\right|$ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ – направляющие вектора прямых $\vec{c}$ произвольный вектор, соединяющий прямые $l_1$ и $l_2$ |
Объёмы
| Объём тетраэдра | Объём параллелепипеда |
|---|---|
 |  |
| $V=\dfrac{1}{6}\left|(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\right|$ | $V=\left|(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\right|$ |