Координаты векторов

Линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется вектор $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$.

Числа $\alpha$ и $\beta$ называются коэффициентами линейной комбинации.

Если вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны и $x\vec{a}+y\vec{b}=\vec{0}$, то $x=y=0$.

Предположим, что $x\neq0$. Тогда можно выразить $\vec{a}=-\frac{y}{x}\vec{b}$, откуда следует, что $\vec{a} \parallel \vec{b}$, что противоречит условию. Таким образом $x=0$. Аналогично можно доказать, что $y=0$.

Любой вектор можно единственным образом представить в виде линейной комбинации двух наперед заданных неколлинеарных векторов.

Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ – данные неколлинеарные векторы.

Докажем, что любой вектор $\vec{p}$ можно разложить по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Возможны два случая.

Вектор $\vec{p}$ коллинеарен одному из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, например вектору $\vec{b}$.

В этом случае по теореме \ref{139} вектор $p$ можно представить в виде $\vec{p}=y\vec{b}$, где $y$ – некоторое число, и, следовательно, $\vec{p}=0\cdot \vec{a}+y\cdot \vec{b}$, то есть вектор $\vec{p}$ разложен по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Вектор $\vec{p}$ не коллинеарен ни вектору $\vec{a}$, ни вектору $\vec{b}$.

Отметим какую-нибудь точку $O$ и отложим от неё векторы $\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB}=\vec{b}, \overrightarrow{OP}=\vec{p}$.

Через точку $P$ проведём прямую, параллельную прямой $OB$, и обозначим через $A_1$ точку пересечения этой прямой с прямой $OA$.

По правилу треугольника $\vec{p}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{A_1P}$. Но векторы $\overrightarrow{OA_1}$ и $\overrightarrow{A_1P}$ коллинеарны соответственно векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, поэтому существуют числа $x$ и $y$, такие, что $\overrightarrow{OA_1}=x\vec{a}, \overrightarrow{A_1P}=y\vec{b}$.

Следовательно, $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$, то есть вектор $\vec{p}$ разложен по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Докажем теперь, что коэффициенты $x$ и $y$ разложения определяются единственным образом.

Допустим, что наряду с разложением $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$ имеет место разложение $\vec{p}=x_1\vec{a}+y_1\vec{b}$.

Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем $\vec{0}=(x-x_1)\vec{a}+(y-y_1)\vec{b}$.

Но это равенство может выполняться, только если $x-x_1=y-y_1=0$.

В самом деле, если предположить, что например $x-x_1\neq0$, то из полученного равенства найдем $\vec{a}=-\frac{y-y_1}{x-x_1}\vec{b}$, а значит, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Но это противоречит условию теоремы.

Следовательно, $x-x_1=0$ и $y-y_1=0$.

Откуда $x=x_1$ и $y=y_1$.

Это и означает, что коэффициенты разложения вектора $\vec{p}$ определяются единственным образом.

Пусть прямая $Oy \parallel\vec{j}$, а прямая $Ox \parallel\vec{i}$, кроме того $Oy\perp Ox$, и $\vec{i}\perp\vec{j}$, $|\vec{i}|=|\vec{j}|=1$ (рис. \ref{pic142}).

Тогда говорят, что на плоскости $xOy$ задана прямоугольная система координат, а коэффициенты разложения произвольного вектора $\vec{a}$ по базису $(\vec{i},\vec{j})$ называются координатами вектора $\vec{a}$ в этой системе координат. То есть, если $\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}$, то говорят, что вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x, a_y)$.

Вектора $\vec{i}$ и $\vec{j}$ называют координатными ортами.

Если вектор $\vec{a}$ в системе координат $xOy$ имеет координаты $(a_x, a_y)$, то числа $a_x$ и $a_y$ совпадают с проекциями вектора $\vec{a}$ на координатные оси $Ox$ и $Oy$ соответственно, то есть $a_x=pr_{Ox}{\vec{a}}$ и $a_y=pr_{Oy}{\vec{a}}$.

Радиус-вектором точки $M$ в системе координат $xOy$ называют вектор $\overrightarrow{OM}$.

1. Два вектора равны тогда и только тогда, когда их координаты соответственно равны.
2. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.
3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Пусть $\vec{a}=\vec{b}$, $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}, \vec{b}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$.

Тогда $x\vec{i}+y\vec{j}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ или $(x-x_1)\vec{i}+(y-y_1)\vec{j}=0$. Так как $\vec{i}\not \parallel \vec{j}$, то по лемме \ref{lmm-lin-nezavisimost} $x-x_1=y-y_1=0$, то есть $x=x_1$ и $y=y_1$.

Обратно, если $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$, и $\vec{b}=x\vec{i}+y\vec{j}$, то очевидно $\vec{a}=\vec{b}$.

Рассмотрим вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$.

Так как $\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ и $\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$ то, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим: $\vec{a}+\vec{b}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+x_2\vec{i}+y_2\vec{j}=(x_1+x_2)\vec{i}+(y_1+y_2)\vec{j}$.

Отсюда следует, что координаты вектора $\vec{a}+\vec{b}$ равны $(x_1+x_2; y_1+y_2)$.

Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x;y)$.

Тогда вектор $k\vec{a}=k(x\vec{i}+y\vec{j})=kx\vec{i}+ky\vec{j}$, то есть координаты вектора $k\vec{a}$ равны $(kx;ky)$.

Координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конца.

Пусть $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}$.

Докажем, что $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$ и $\overrightarrow{OM_2}=y\vec{j}$.

В самом деле, если $x>0$, то $x=|OM_1|$, а векторы $\overrightarrow{OM_1}$ и $\vec{i}$ сонаправлены.

Поэтому $\overrightarrow{OM_1}=|OM_1|\cdot \vec{i}=x\vec{i}$.

Если $x<0$, то $x=-|OM_1|$, а векторы $\overrightarrow{OM_1}$ и $\vec{i}$ противоположно направлены.

Поэтому $\overrightarrow{OM_1}=-|OM_1|\vec{i}=x\vec{i}$.

Наконец, если $x=0$, то $\overrightarrow{OM_1}=\vec{0}$ и равенство $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$ в этом случае также справедливо.

Таким образом, в любом случае $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$.

Аналогично доказывается, что $\overrightarrow{OM_2}=y\vec{j}$.

Следовательно, $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}=x\vec{i}+y\vec{j}$.

Отсюда следует, что координаты радиус-вектора $\overrightarrow{OM}$ равны $(x;y)$, то есть равны соответствующим координатам точки $M$.

Координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны разностям соответствующих координат точек $B$ и $A$.

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_1;y_1)$, а точка $B$ имеет координаты $(x_2;y_2)$.

Тогда $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_2;y_2)-(x_1;y_1)=(x_2-x_1; y_2-y_1)$.

Для любого вектора $\vec{a}(x_1;y_1)$ его модуль вычисляется по формуле $|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$.

Если $x=0$ или $y=0$, то формула очевидна.

Пусть $x\neq0$ и $y\neq0$.

Отложим от начала координат вектор $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ и проведем через точку $A$ перпендикуляры $AA_1$ и $AA_2$ к осям $Ox$ и $Oy$.

Координаты точки $A$ равны координатам вектора $\overrightarrow{OA}$, то есть $(x;y)$. Поэтому $|OA_1|=|x|, |AA_1|=|OA_2|=|y|$.

По теореме Пифагора $|OA|=\sqrt{|OA_1|^2+|AA_1|^2}=\sqrt{x^2+y^2}$.

Таким образом $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Если $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$, то $|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ .

Если $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$, то вектор $\overrightarrow{AB}$ имеет координаты $(x_2-x_1; y_2-y_1)$.

Следовательно, $|AB|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.

Если $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$, то точка $M$ середина отрезка $AB$ имеет координаты $M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.

По теореме $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$.

Таким образом $\displaystyle\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}=\frac{(x_1;y_1)+(x_2;y_2)}{2}=\frac{(x_1+x_2;y_1+y_2)}{2}=\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

Таким образом точка $M$ имеет координаты $\displaystyle\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

…