Центральная симметрия относительно точки $O$ – это такое преобразование плоскости, которое любой точке $X$ сопоставляет такую точку $X'$, что $\overrightarrow{OX}=-\overrightarrow{OX'}$.
Центральную симметрию можно представить в виде композиции двух осевых симметрий относительно взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через центр симметрии. .
Рассмотрим центральную симметрию, относительно точки $O$.
Рассмотрим произвольные взаимно перпендикулярные прямые $l_1$ и $l_2$, проходящие через точки $O$.
Докажем, что $Z_{O}=S_{l_2}\circ S_{l_1}$.
Для этого докажем, что для произвольной точки $X$ будет выполнено $X'=X''$, где $X'=Z_{O}(X), X''=S_{l_2}(S_{l_1}(X))$.
Пусть $Y=S_{l_1}(X)$ и $S_{l_2}(Y)=X''$.
Тогда $\triangle X'YX$ – прямоугольный, кроме того $OX=OY=OX''$.
Следовательно, $\overrightarrow{OX}=-\overrightarrow{OX''}$, то есть $X''=X'$.
Центральная симметрия является движением.
Так как центральная симметрия представляется в виде композиции двух осевых симметрий, а композиция движений является движением, то центральная симметрия также является движением.
Образ точки $X(x_1;y_1)$ при центральной симметрии относительно точки $O(x_0;y_0)$ имеет координаты $X'(2x_0-x_1;2y_0-y_1)$.
Утверждение теоремы очевидно следует из следующей цепочки равенств: $X'=O-\overrightarrow{OX}=(x_0;y_0)-((x_1;y_1)-(x_0;y_0))=(2x_0-x_1;2y_0-y_1)$.