Поворотом фигуры вокруг точки O на угол φ называется такое преобразование, которое каждую точку X переводит в точку X′, при этом OX=OX′ и угол XOX′ отложенный в заданном направлении от луча OX равен φ.
Поворот можно представить в виде композиции двух осевых симметрий.
Рассмотрим поворот RO,φ.
Докажем, что RO,φ=Sl2∘Sl1, где прямые l1 и l2 пересекаются в точке O под углом φ2.
Необходимо доказать, что для любой точки X будет выполнено X′=X″, где X′=RO,φ(X) и X″=Sl2(Sl1(X)).
Если X=O, то равенство X=X″ очевидно, так как точка O остаётся неподвижной.
Пусть теперь точка X не совпадает с точкой O.
Прямые l1 и l2 образуют два острых и два тупых угла.
Пусть точка X лежит на прямой l1.
Тогда Sl1(X)=X.
Пусть Y=Sl1(X).
Тогда ∠(X;l1)=∠(Y;l2), обозначим эти углы α.
Кроме того, пусть β=∠(X;l2).
Если α<β и α<φ2
Поворот является движением.
Пусть точка X(x;y) при повороте на угол φ вокруг начала координат в положительном направлении переходит в точку X′(x′;y′). Тогда координаты X и X′ связаны соотношениями:
{x′=xcosφ−ysinφ,y′=xsinφ+ycosφ;{x=x′cosφ+y′sinφ,y=y′cosφ−x′sinφ.