Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Содержание

Поворот

Определение

Поворотом фигуры вокруг точки O на угол φ называется такое преобразование, которое каждую точку X переводит в точку X, при этом OX=OX и угол XOX отложенный в заданном направлении от луча OX равен φ.

Теорема

Поворот можно представить в виде композиции двух осевых симметрий.

Доказательство

Рассмотрим поворот RO,φ.

Докажем, что RO,φ=Sl2Sl1, где прямые l1 и l2 пересекаются в точке O под углом φ2.

Необходимо доказать, что для любой точки X будет выполнено X=X, где X=RO,φ(X) и X=Sl2(Sl1(X)).

Если X=O, то равенство X=X очевидно, так как точка O остаётся неподвижной.

Пусть теперь точка X не совпадает с точкой O.

Прямые l1 и l2 образуют два острых и два тупых угла.

Пусть точка X лежит на прямой l1.

Тогда Sl1(X)=X.

Пусть Y=Sl1(X).

Тогда (X;l1)=(Y;l2), обозначим эти углы α.

Кроме того, пусть β=(X;l2).

Если α<β и α<φ2

Теорема

Поворот является движением.

Поворот в координатах

Пусть точка X(x;y) при повороте на угол φ вокруг начала координат в положительном направлении переходит в точку X(x;y). Тогда координаты X и X связаны соотношениями:

{x=xcosφysinφ,y=xsinφ+ycosφ;{x=xcosφ+ysinφ,y=ycosφxsinφ.