\section{Векторы} \subsection{Определение вектора} \begin{dfn}\label{def31} Величина, которая характеризуется своим численным значением, направлением и складывается по правилу треугольника, называется векторной величиной.\end{dfn} \begin{dfn}\label{def32} Направленный отрезок – это отрезок один конец которого считается началом, а другой концом.\end{dfn} \begin{dfn}\label{def33.1} Направленные отрезки называются сонаправленными, если выполняется одно из двух следующих условий: \begin{enumerate}
\item отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими
отрезками в пересечении дают луч (рис. \ref{pic124} a);
\item отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в
одной полуплоскости относительно прямой, соединяющей начала
направленных отрезков (рис. \ref{pic124} b).
\end{enumerate}
\end{dfn}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{124-1}
a)
\end{center}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{124-2}
b)
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Определение
\ref{def33.1}.}}\label{pic124}
\end{center}
\end{figure}
\begin{dfn}\label{def33.2} Направленные отрезки называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и при этом лучи, задаваемые этими направленными отрезками лежат по одну сторону от некоторой непараллельной им прямой, то есть в одной полуплоскости, ограниченной этой прямой (рис. \ref{pic125}). \end{dfn}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{125}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Определение
\ref{def33.2}.}}\label{pic125}
\end{center}
\end{figure}
\begin{dfn}\label{def33.3} Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ сонаправлены, если найдётся такая прямая $a$, что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой и, во-вторых, лучи $AB$ и $CD$ лежат по одну сторону от этой прямой (рис. \ref{pic126}). \end{dfn}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{126}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Определение
\ref{def33.3}.}}\label{pic126}
\end{center}
\end{figure}
\begin{utv}\label{utv33} Определения \ref{def33.1}, \ref{def33.2} и \ref{def33.3} эквивалентны. \end{utv} \begin{dfn}\label{def34} Направленные отрезки называются противоположно направленными, если выполняется одно из двух следующих условий: \begin{enumerate}
\item отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими отрезками в пересечении дают отрезок, точку или пустое множество; \item отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, соединяющей начала направленных отрезков.
\end{enumerate}
\end{dfn}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{127-1}
a)
\end{center}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{127-2}
b)
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Определение
\ref{def34}.}}\label{pic127}
\end{center}
\end{figure}
\begin{dfn}\label{def34.2} Направленные отрезки называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), но не сонаправлены. \end{dfn} \begin{zam} Определения \ref{def34} и \ref{def34.2} эквивалентны. \end{zam} \begin{dfn}\label{def35} Направленные отрезки называются равными, если они равны по длине и сонаправлены.\end{dfn} \begin{dfn}\label{def36} Вектор – это класс эквивалентности направленных отрезков, по отношению эквивалентности «равенство» (или проще: класс равных направленных отрезков).\end{dfn} \begin{dfn}\label{def37} Для любой точки $A$, вектор $\overrightarrow{AA}$ называется ноль-вектором и обозначается $\vec{0}$.\end{dfn} \begin{dfn}\label{def38} Вектора называются коллинеарными, если их направленные отрезки сонаправлены или противоположно направлены.\end{dfn} \begin{thm}\label{130} Два вектора сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены. \end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{128}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{130}.}}\label{pic128}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par Пусть векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ сонаправлены с вектором $\overrightarrow{MN}$ (рис. \ref{pic128}). Докажем, что $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}$. Так как $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{MN}$, то по определению \ref{def33.3} найдется такая перпендикулярная им прямая $a$, от которой лучи $AB$ и $MN$ лежат по одну сторону. Точно так же для векторов $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{MN}$ найдётся перпендикулярная им прямая $b$, от которой лучи $CD$ и $MN$ лежат по одну сторону. Если прямые $a$ и $b$ не совпадают, то они параллельны (как перпендикулярные одной и той же прямой $MN$). Тогда из двух полуплоскостей, которые ограничены прямыми $a$ и $b$ и содержат луч $MN$, одна содержит другую. Будем считать, что это полуплоскость ограниченная прямой $a$. Эта полуплоскость содержит лучи $AB$, $CD$ и $MN$. Тем самым выполнено второе условие определения \ref{def33.3}. Кроме того выполнено и первое условие, так как векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ перпендикулярны прямой $a$. Поэтому $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}$. \end{proof} \begin{dfn} \label{def39} Векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены.\end{dfn} \begin{thm}\label{131} \begin{enumerate}
\item Каждый вектор равен самому себе.
\item Если вектор $\vec{a}$ равен вектору $\vec{b}$, то вектор
$\vec{b}$ равен вектору $\vec{a}$.
\item Два вектора равные третьему вектору, равны.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}\ \par
Первые два свойства очевидно вытекают из определения равенства
векторов.\par Докажем третье свойство. Пусть $\vec{a}=\vec{b}$ и
$\vec{c}=\vec{b}$. Тогда $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ и $\vec{a}\upuparrows
\vec{b}$, а также $|\vec{c}|=|\vec{b}|$ и $\vec{c}\upuparrows
\vec{b}$. Из равенства модулей следует, что $|\vec{a}|=|\vec{c}|$. А
из теоремы \ref{130} вытекает, что $\vec{a}\upuparrows \vec{c}$.
Поэтому $\vec{a}=\vec{c}$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{132}
Если четырехугольник $ABCD$ – параллелограмм, то
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.\end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{129}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{132}.}}\label{pic129}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\
\par
Из того, что $ABCD$ параллелограмм следует, что $AB=CD$ и
$AB\parallel CD$ (рис. \ref{pic129}). Кроме того лучи $AB$ и $DC$
лежат по одну сторону от прямой $AD$, следовательно вектора
$\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены и равны
по модулю. Таким образом $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{133}
Если $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, то
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.\end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{130}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{133}.}}\label{pic130}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par
Из равенства векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$
следует, что $AB=CD$ и $AB\parallel CD$, таким образом $ABDC$ –
параллелограмм (рис. \ref{pic130}). Следовательно, по теореме
\ref{132} $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{134}
От любой точки $M$ можно отложить вектор, равный данному вектору
$\vec{a}$, и при том только один.\end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{131}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{134}.}}\label{pic131}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par Рассмотрим вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ (рис. \ref{pic131}). Проведем через точку $M$ прямую $p$, параллельную $AB$ (если $M$ – точка прямой $AB$, то в качестве прямой $p$ возьмём саму прямую $AB$). На прямой $p$ отложим отрезки $MN$ и $MN'$, равные отрезку $AB$, и выберем из векторов $MN$ и $MN'$ тот, который сонаправлен с вектором $a$. Этот вектор и является искомым вектором, равным вектору $a$. Единственность следует из аксиомы \ref{aks2} (об откладывании отрезка) и аксиомы \ref{aks5} (о параллельных прямых). \end{proof}