Чтобы получить сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от какой-либо точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, затем от точки $B$ отложить вектор $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$ (рис. \ref{pic132}). Вектор $\overrightarrow{AC}$ называется суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ \end{dfn}

\includegraphics[width=100pt]{132}

Определение \ref{def40} корректно, то есть сумма векторов не зависит от выбора точки $A$. \end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{133}

Докажем, что если отложить вектор $a$ от точки $A_1$, то есть $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{a}$, а затем от точки $B_1$ отложить вектор $\overrightarrow{B_1C_1}=\vec{b}$, то сумма векторов $\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{A_1C_1}$ будет равна вектору $\overrightarrow{AC}$, то есть $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$ (рис. \ref{pic133}).\par Так как $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1B_1}$, то по теореме \ref{133} имеем $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}$. Аналогично из равенства $\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$ следует, что $\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}$. Поэтому $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}$. Но из этого равенства по той же теореме \ref{133} следует, что $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$. \end{proof} \begin{dfn}\label{def41} Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, что $\vec{c}+\vec{b}=\vec{a}$. Принято обозначать $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$ (рис. \ref{pic134}).\end{dfn}

\includegraphics[width=100pt]{134}

\begin{sle}\label{sle.def41} $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (рис. \ref{pic134}). \end{sle}

\begin{thm}[Правило параллелограмма]\label{135} Если $ABCD$ – параллелограмм, то $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ \end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{135}

Так как $ABCD$ – параллелограмм, то $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Следовательно, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. \end{proof}

Для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$

1. $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$.
2. $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.
3. $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.

\includegraphics[width=100pt]{136a}
\includegraphics[width=100pt]{136b}
\includegraphics[width=100pt]{136c}
\includegraphics[width=100pt]{136d}

\begin{proof}\ \par Первой свойство очевидно. Докажем второе свойство. Возможны два случая: $1)$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, 2) вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Рассмотрим первый случай. Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. Отложим их от точки $A$: $\overrightarrow{AB}=a$ и $\overrightarrow{AD}=b$ – и построим на этих векторах параллелограмм $ABCD$ (рис. \ref{pic136} a). Поскольку $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, то $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$. \par Рассмотрим второй случай. Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Если вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то можно их последовательно отложить от точки $A$ двумя способами, то есть $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, или $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$ (рис. \ref{pic136} b). Докажем, что $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$. Вектора $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ очевидно сонаправлены, кроме того их модули равны $|\vec{a}|+|\vec{b}|$. Следовательно, эти вектора равны.\par Рассмотрим случай, когда вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (рис. \ref{pic136} c). Пусть кроме того $|\vec{a}|>|\vec{b}|$. Тогда $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, при этом $|\overrightarrow{AC}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$. C другой стороны $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$, при этом $|\overrightarrow{AC_1}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$. Таким образом модули векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ равны, кроме того они сонаправлены, следовательно, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$.\par Докажем третий пункт теоремы. Отложим от точки $A$ вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, затем от точки $B$ вектор $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$, а потом от точки $C$ вектор $\overrightarrow{CD}=\vec{c}$ (рис. \ref{pic136} d). Тогда $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$. C другой стороны, $\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$. Итак $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$. \end{proof} \begin{dfn}\label{def42} Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается противоположным самому себе (рис. \ref{pic137}).

\includegraphics[width=100pt]{137}

1. $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$.
2. Если $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$, то $\vec{a}=-\vec{b}$.

Докажем первый пункт. Пусть $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$. Тогда $-\vec{a}=\overrightarrow{BA}$. Следовательно, $\vec{a}+(-\vec{a})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.\par Докажем второй пункт. Пусть $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$. Тогда, если $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, то поскольку $\vec{0}=\overrightarrow{AA}$, то $\vec{b}=\overrightarrow{BA}$. Таким образом, вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны по модулю и противоположны по направлению, то есть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположны. \end{proof} \begin{thm}\label{137} Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$. \end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{138}

\begin{proof}\ \par Пусть $\vec{c}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-\vec{b}$. По правилу треугольника $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}$. Кроме того $\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}=-\vec{b}$. Поэтому $\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}+(-\overrightarrow{OB})=\vec{a}+(-\vec{b})$. \end{proof} \begin{dfn}[о произведении вектора на число]\label{def43} Произведением вектора $\vec{a}\neq\vec{0}$ на число $x\neq0$ называется такой вектор $x\vec{a}$, для которого выполняются два условия:\begin{enumerate}

        \item $|x\cdot\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{a}|$
        \item он сонаправлен с вектором $\vec{a}$, если $x>0$, и
        противоположно направлен вектору $\vec{a}$, если $x<0$
      \end{enumerate}

Если же $\vec{a}=\vec{0}$ или $x=0$, то вектор $x\vec{a}=\vec{0}$ (рис. \ref{pic138})

\includegraphics[width=100pt]{139a}
\includegraphics[width=100pt]{139b}

\begin{sle*}\label{sle.def43}\

1. $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$ для любого вектора $\vec{a}$.
2. $(-1)\vec{a}=-\vec{a}$ для любого вектора $\vec{a}$.
3. Если $x\vec{a}=x\vec{b}$ и $x\neq0$, то $\vec{a}=\vec{b}$.
4. Если $x\vec{a}=y\vec{a}$ и $\vec{a}\neq\vec{0}$, то $x=y$.

\begin{proof}\ \par \begin{itemize}

\item По определению вектор $1\cdot \vec{a}$ по модулю равен
$1\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он сонаправлен с
$\vec{a}$, так как $1>0$.
\item По определению вектор $1\cdot \vec{a}$ по модулю равен
$|-1|\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он противоположнонаправлен с
$\vec{a}$, так как $-1<0$, следовательно, это вектор $-\vec{a}$.
\item Если $x\vec{a}=x\vec{b}$, то
$|x|\cdot|\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{b}|$, и так как $x\neq0$, то
$|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Кроме того, если $x>0$, то вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$
сонаправлены с $\vec{a}$, а если $x<0$, то они сонаправлены с
$-\vec{a}$. Таким образом $\vec{a}=\vec{b}$.
\item Если $x\vec{a}=y\vec{a}$, то
$|x|\cdot|\vec{a}|=|y|\cdot|\vec{a}|$, а так как
$\vec{a}\neq\vec{0}$, то на $|\vec{a}|$ можно сократить,
следовательно, $|x|=|y|$. А так как вектора $x\vec{a}$ $y\vec{a}$,
то числа $x$ и $y$ одного знака. Следовательно, $x=y$.

\end{itemize} \end{proof}

\begin{thm}[Характеристическое свойство коллинеарных векторов]\label{139} Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и только тогда, когда $\vec{b}=x\vec{a}$. \end{thm} \begin{proof}\ \par Если $\vec{b}=x\vec{a}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны по определению умножения вектора на число.\par Теперь докажем, что если $\vec{b}\parallel \vec{a}$, то найдется такое число $x$, что $\vec{b}=x\vec{a}$. Если $\vec{b}=\vec{0}$, то $x=0$. Если же $\vec{b}\neq\vec{0}$, то возможны два случая: \begin{enumerate}

  \item $\vec{b}\upuparrows \vec{a}$, тогда
  $x=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Действительно, вектор
  $x\vec{a}$ будет сонаправлен с $\vec{b}$, так как $x>0$, кроме
  того
  $|x\vec{a}|=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}|=|\vec{b}|$.
  Следовательно, $\vec{b}=x\vec{a}$.
  \item $\vec{b}\updownarrows \vec{a}$, тогда аналогично первому
  случаю
  $x=-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.

\end{enumerate} \end{proof} \begin{sle}\label{sle139.1} Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число. \end{sle} \begin{proof}\ \par Рассмотрим вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$. Если точка $X$ лежит на прямой $AB$, то вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны по определению, и, следовательно $\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$.\par Обратно, если $\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$, то вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны, а так как у них есть общая точка $A$, то они лежат на одной прямой. \end{proof} \begin{thm}\label{142} Для любых чисел $k, l$ и любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ справедливы равенства: \begin{enumerate}

\item $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$;
\item $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$;
\item $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.

\end{enumerate} \end{thm} \begin{proof}\ \par \begin{enumerate}

\item Докажем, что для любых чисел $k$, $l$ и любого вектора $\vec{a}$
справедливо равенство $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$. Если $\vec{a}=\vec{0}$, то
справедливость этого равенство очевидна. Пусть $a\neq0$. Имеем:
$|(lk)\vec{a}|=|kl||\vec{a}|=|k||l||\vec{a}|=|k||l\vec{a}|=|k(l\vec{a})|$.\par
Далее, если $kl\geqslant0$, то $(kl)\vec{a}\upuparrows \vec{a}$ и $k(l\vec{a})\upuparrows
\vec{a}$; если же $kl<0$, то $(kl)\vec{a}\updownarrows \vec{a}$ и $k(l\vec{a})\updownarrows
\vec{a}$. И в том и в другом случае $(kl)\vec{a}\upuparrows k(l\vec{a})$.
Следовательно, $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$.
\item Докажем, что для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$
справедливо равенство $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$. Если $k=0$, или $\vec{a}=\vec{0}$, или
$\vec{b}=\vec{0}$, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть $k\neq0, \vec{a}\neq\vec{0},
\vec{b}\neq\vec{0}.$\par Возможны три случая.

\begin{enumerate}

  \item $\vec{a}\upuparrows \vec{b}$. Тогда вектора $k(\vec{a}+\vec{b}), k\vec{a}$, $k\vec{b}$, а
  следовательно, и $k\vec{a}+k\vec{b}$,
  сонаправлены. Кроме того
  $|k(\vec{a}+\vec{b})|=|k|(|\vec{a}|+|\vec{b}|)=|k\vec{a}|+|k\vec{b}|=|k\vec{a}+k\vec{b}|$. Следовательно,
  $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.
  \item $\vec{a}\updownarrows \vec{b}$. Пусть для определённости
  $|\vec{a}|\geqslant|\vec{b}|$. Тогда и $|k\vec{a}|\geqslant|k\vec{b}|$. Тогда
  $k(\vec{a}+\vec{b})\upuparrows(k\vec{a}+k\vec{b})$. Кроме того в этом случае
  $|k(\vec{a}+\vec{b})|=|k|(|\vec{a}|-|\vec{b}|)=|k\vec{a}|-|k\vec{b}|=|k\vec{a}+k\vec{b}|$. Следовательно,
  $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.
  \item $\vec{a}\not\parallel \vec{b}$. Тогда отложим  от какой-нибудь точки
  $O$ векторы $\overrightarrow{OA_1}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{OA}=k\vec{a}$, а от точек $A_1$ и $A$ векторы
  $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{b}$ и $\overrightarrow{AB}=k\vec{b}$. Треугольники $OA_1B_1$ и $OAB$ подобны с
  коэффициентом подобия $|k|$ по второму признаку подобия
  треугольников. Следовательно, $\overrightarrow{OB}=k\cdot \overrightarrow{OB_1}=k(\vec{a}+\vec{b})$. C другой
  стороны, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=k\vec{a}+k\vec{b}$. Итак, $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.

\end{enumerate}

\item Докажем, что для любых чисел $k, l$ и любого вектора $\vec{a}$
справедливо равенство $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$. Если $k=l=0$, то
справедливость этого равенство очевидна. Пусть хотя бы одно из
чисел $k, l$ отлично от нуля. Для определённости будем считать,
что $|k|\geqslant|l|$, и, следовательно, $k\neq0$ и
$\left|\frac{l}{k}\right|\leqslant1$.\par
Рассмотрим вектор $\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a}$. Очевидно, $(\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a})\upuparrows
\vec{a}$. Далее, $|\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a}|=|\vec{a}|+\frac{l}{k}|\vec{a}|=(1+\frac{l}{k})\vec{a}$.
Умножая обе части этого равенства на $k$, получим, что справедливо
равенство $k\vec{a}+l\vec{a}=(k+l)\vec{a}$.

\end{enumerate} \end{proof} \begin{thm}[теорема «$\alpha-\beta$»]\label{140} Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, и $AC:CB=\alpha:\beta$, то $\overrightarrow{OC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OB}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OA}$. \end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{140}

\begin{proof}\ \par Выберем произвольную точку $O$ и обозначим $\vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}, \vec{c}=\overrightarrow{OC}$ (рис. \ref{pic140}). Тогда $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}(\vec{b}-\vec{a})$. Тогда $\vec{c}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\frac{\alpha}{\alpha+\beta}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}+\alpha \vec{b}-\alpha \vec{a}}{\alpha+\beta}=\frac{\beta \vec{a}+\alpha \vec{b}}{\alpha+\beta}=\frac{\beta}{\alpha+\beta} \vec{a}+\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \vec{b}$, то есть $\overrightarrow{OC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OB}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OA}$. \end{proof}