Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$ и $\angle A=\angle A_1$.

Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.

Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что $\angle B=\angle B_1$.

Рассмотрим треугольник $ABC_2$, у которого $\angle 1=\angle A_1$, $\angle 2=\angle B_1$.

Треугольники $ABC_2$ и $A_1B_1C_1$ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC_2}{A_1C_1}$.

C другой стороны, по условию $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$.

Из этих двух равенств получаем $AC=AC_2$.

Треугольники $ABC$ и $ABC_2$ равны по двум сторонам и углы между ними ($AB$ – общая, $AC=AC_2$ и $\angle A=\angle 1$, поскольку $\angle A=\angle A_1$ и $\angle 1=\angle A_1)$.

Отсюда следует, что $\angle B=\angle 2$, а так как $\angle 2=\angle B_1$, то $\angle B=\angle B_1$.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со сторонами $a, b, c$ и $a_1, b_1, c_1$ соответственно.

Пусть $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}$ и $\angle C=\angle C_1$. Докажем, что тогда $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.

Обозначим $k=\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}$.
Тогда $a=k\cdot a_1$, $b=k\cdot b_1$.

По теореме косинусов в треугольнике $ABC$: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}=k^2a_1^2+k^2b_1^2-2ka_1kb_1\cos{C_1}=k^2(a_1^2+b_1^2-2a_1b_1\cos{C})=k^2c_1^2.$$

Следовательно, $c=kc_1$, то есть стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ пропорциональны.

Тогда по третьему признаку $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.