Основные (неопределяемые) объекты и отношения

Основные объекты

Точки

Отрезки

Основные отношения

Точка является концом отрезка

Точка лежит внутри отрезка

Два отрезка равны друг другу

Аксиомы

1. Аксиомы связи точек и отрезков

Аксиома 1.1

Для каждого отрезка существует две точки, являющиеся его концами.

Аксиома 1.2

Для каждого отрезка существует не более двух точек, являющихся его концами.

Аксиома 1.3

Для каждых двух точек существует отрезок, концами которого они являются.

Аксиома 1.4

Существует не более одного отрезка с данными концами.

Аксиома 1.5

Для каждого отрезка существует лежащая на нем точка.

Аксиома 1.6

Точка, лежащая на отрезке, не является его концом.

2. Аксиомы разделения и соединения отрезков

Аксиома 2.1

Если точка лежит на отрезке , то .

Более подробно:

Если на и на (или на ), то на .

Если на и на (), то на или на .

Аксиома 2.2

Если точка лежит на отрезке , то .

Аксиома 2.3

Если на и на , то .

3. Аксиомы о равенстве и сравнении отрезков

Аксиома 3.1

Для каждых двух отрезков и существует отрезок , равный и налегающий на .

Аксиома 3.2

Для каждых двух отрезков и существует не более одного отрезка , равного и налегающего на .

Аксиома 3.3

Если отрезки равны одному и тому же отрезку, то они равны друг другу.

Аксиома 3.4

Если на и на и , , то .

Аксиома 3.5 (Аксиома Архимеда)

При любых двух отрезках и существует отрезок , содержащий и такой =, что на нем есть такие точки , что .

Аксиома непрерывности

Аксиома 4.1

Если , то существует точка, принадлежащая каждому из отрезков , , и т.д.

Плоскостные аксиомы

Аксиома 5.1

Существуют три точки, не лежащие на одном отрезке.

Аксиома 5.2 (аксиома Паша)

Если отрезок пересекает сторону треугольника, то он сам или некоторый содержащий его отрезок пересекает другую сторону, либо проходит через его вершину.

Аксиома 5.3

Для любого треугольника и отрезка , равного , с любой данной стороны от существует такая точка , что , .

Аксиома 5.4

Если , , и , – такие точки на и , что , то также .

Аксиома 5.5

Если точки и лежат с одной стороны от отрезка и отрезки и равны и образуют с прямые углы, то .