Аксиоматика Гильберта

Основные (неопределяемые) объекты и отношения

Основные объекты

Точки

Прямые

Основные отношения

Точка лежит на прямой

1. Аксиомы принадлежности

Аксиома 1.1

Для любых двух точек и существует прямая , принадлежащая каждой из этих двух точек.

Аксиома 1.2

Для любых двух точек и существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из этих двух точек.

Аксиома 1.3

На прямой существуют по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Аксиомы порядка

Аксиома 2.1

Если точка лежит между точкой и точкой , то суть три различные токи прямой, и лежит также между и .

Аксиома 2.2

Для любых двух точек и на прямой существует по крайней мере одна точка такая, что точка лежит между и .

Аксиома 2.3

Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Аксиома 2.4 (Паша)

Пусть – три точки, не лежащие на одной прямой, и - прямая в плоскости , не проходящая ни через одну из точек . Если при этом прямая проходит через одну из точек отрезка , то она должна пройти через одну из точек отрезка или через одну из точек отрезка .

Теорема 3.
Теорема 4
Теорема (дополнение к аксиоме Паша) –
Теорема 5
Теорема 6 ––
Теорема 7
Теорема 8
Теорема 9 ––––

3. Аксиомы конгруентности

Замечание

Отрезки (в некоторых случаях) находятся один к другому в определенном отношении, для обозначения которого нам служат слова «конгруентен» или «равен».

Аксиома 3.1 (об откладывании отрезка)

Если суть две точки на прямой и – точка на той же прямой или на другой прямой , то всегда можно найти точку , лежащую по данную сторону от точки на прямой , и притом такую, что отрезок конгруентен, иначе говоря, равен отрезку .

Аксиома 3.2

Если отрезок и отрезок конгруентны одному и тому же отрезку , то отрезок конгруентен также и отрезку .

Теорема Отношение конгруентности отрезков обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Аксиома 3.3 (о сложении отрезков)

Пусть и суть два отрезка прямой , не имеющие ни одной общей точки, и пусть, далее, и суть два отрезка той же прямой или другой прямой , также не имеющие общих точек. Если при этом и , то

Замечание

Углы (в некоторых случаях) находятся один к другому в определенном отношении, для обозначения которого нам служат слова «конгруентен» или «равен».

Аксиома 3.4

Пусть даны угол в плоскости и прямая в плоскости , а также