Теорема о медианах треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины.

Доказательство

Первый способ.

Рассмотрим треугольник , в котором проведены медианы и .

Докажем, что все медианы пересекаются в одной точке.
Пусть медианы и пересекаются в точке .

Заметим, что – средняя линия треугольника .

Следовательно, , и , и, следовательно .

Тогда .

Аналогично, если рассмотреть медианы и , то они пересекаются в точке, разбивающей медиану в таком же отношении , считая от точки , а это точка .

Итак, все медианы пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины треугольника.

Второй способ.

Рассмотрим треугольник , в котором проведены медианы и .

Докажем, что все медианы пересекаются в одной точке.

Действительно, так как , то по теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку .

По теореме Менелая для треугольника и секущей имеем , откуда .

Аналогично .

Теорема

Медианы делят треугольник на шесть равных по площади треугольников.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором проведены медианы $AA_1, BB_1CC_1$.

Пусть они пересекаются в точке .

Докажем, что шесть образовавшихся треугольников равны по площади.

Найдем площадь треугольника .

Треугольники и имеют общую высоту, проведенную из вершины , а поскольку их основания равны, то и площади равны: .

Треугольники и имеют общую высоту, проведенную из вершины , следовательно, их площади относятся, как основания: .

Тогда $S_{AC_1Z}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ACC_1}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot S_{ABC}=\dfrac{1}{6} S_{ABC}$.

Аналогично можно найти площади других получившихся треугольников, и они будут тоже равны .