Длина окружности. Площадь круга

Определение

Длина окружности – это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

Определение

Длина кривой линии приближённо равна длине вписанной ломанной и вычисляется она тем точнее, чем меньше звенья ломанной и чем чаще располагаются вершины ломанной на данной кривой.

Теорема

Длина окружности пропорциональна ее радиусу, то есть отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности.

Доказательство

Пусть и – длины окружностей радиусов и .

Впишем в каждую из них правильный -угольник и обозначим через и их периметры.

По следствию имеем .

Это равенство справедливо при любом значении .

Будем теперь неограниченно увеличивать число .

Так как , при , то .

Тогда в силу равенства .

Из этого равенства следует, что .

Определение

Отношение длины окружности к её диаметру обозначается числом . То есть . Таким образом длина окружности вычисляется по формуле .

Теорема

Периметры правильных -угольников, описанных около окружности , приближаются к длине окружности .

Доказательство

Пусть правильный -угольник описан около окружности с радиусом и центром .

Соединим отрезками точку с вершинами многоугольника .

Эти отрезки пересекут окружность в точках, которые являются вершинами правильного -угольника , вписанного в . пусть сторона -угольника касается окружности в точке , а отрезки и пересекают в точках и .

Радиус пересечёт отрезок в середине – точке .

Отношение периметров и правильных -угольников и равно отношению их сторон и , то есть отношению их половин .

И так как и , то .

Поэтому .

Когда число неограниченно увеличивается, приближается к то есть к , а – к длине окружности , то есть к .

Следовательно, периметры правильных -угольников, описанных около окружности , как и периметры вписанных -угольников, приближаются к длине окружности .

Теорема

Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в равна .

Доказательство

Так как длина всей окружности равна , то длина дуги в равна .

Поэтому длина дуги, соответствующей центральному углу в выражается формулой .

Теорема о площади круга

Площадь круга радиуса выражается формулой .

Доказательство

Рассмотрим правильный -угольник , вписанный в окружность, ограничивающую круг.

Очевидно, площадь данного круга больше площади многоугольника , так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге.

С другой стороны, площадь круга, вписанного в многоугольник, меньше , так как этот круг целиком содержится в многоугольнике.

Итак, .

Кроме того, , где – радиус вписанной в многоугольник окружности.

При получим: , поэтому .

Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремиться» к описанной окружности, поэтому при $n\rightarrow \infty$.

Площадь вписанного многоугольника , где – периметр многоугольника .

Учитывая, что при , получаем $S=\dfrac{1}{2}2\pi R\cdot R=\pi R^2$.

Следствие

Площадь сектора, соответствующего центральному углу в , выражается формулой .

Площадь сегмента, соответствующего центральному углу в , выражается формулой .

Доказательство

Докажем первый пункт.

Так как площадь всего круга равна , то площадь сектора, ограниченного дугой в , равна .

Поэтому площадь сектора, ограниченного дугой в равна .

Докажем второй пункт.

Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника , таким образом