Теорема

Расстояние от точки до прямой выражается по формуле .

Доказательство

Рассмотрим произвольную точку прямой .

Вектор является нормалью к прямой .

Тогда .

По пункту теоремы \ref{151} $pr_{\vec{n}}(\overrightarrow{AB})=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}|}{|\vec{n}|}=\frac{|(x_1-x_0;y_1-y_0)\cdot(a;b)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|x_1a-x_0a+y_1b-y_0b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-x_0a-y_0b+x_1a+y_1b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Так как точка лежит на прямой , то , то есть .

Подставив это выражение в последнее равенство, получим: .

Модуль в числителе необходим, чтобы выражение было положительным вне зависимости от выбора направления нормали к прямой.