Формула Брахмагупты

Пусть – стороны вписанного в окружность четырехугольника, – его полупериметр, а – его площадь. Тогда .

Доказательство

Рассмотрим вписанный четырёхугольник со сторонами $AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$.

По теореме косинусов для треугольников и : , .

Приравняв правые части этих равенств, получим: .

Так как четырёхугольник вписанный, то , следовательно, .

Тогда .

Возведя это равенство в квадрат, получим .

Кроме того .

Умножив это равенство на и возведя в квадрат, получим .

А так как , то .

Тогда

.

Таким образом .

Складывая равенства и , получим

или

Откуда следует, что или .