Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла, заключенного между ними.

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла, заключенного между ними.

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Пусть в треугольнике известны стороны и угол между ними.

Докажем, что .

Действительно, проведем высоту из вершины .

Тогда .

Поэтому .

Тогда .

Докажем второй пункт теоремы.

Пусть в параллелограмме известны стороны и угол между ними.

Докажем, что .

Действительно, проведем высоту из вершины .

Тогда .

Поэтому .

Тогда .

Докажем третий пункт теоремы.

Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник.

Пусть его диагонали пересекаются в точке .

Обозначим .

Кроме того, , а углы $\angle BOC\angle AOD$ являются смежными к ним.

Следовательно, синусы углов и равны.

Обозначим .

Тогда .

Теорема

В любом выпуклом четырехугольнике выполняется соотношение .

Доказательство

Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник.

Пусть его диагонали пересекаются в точке .

Обозначим .

Кроме того, , а углы и являются смежными к ним.

Следовательно, синусы углов и равны.

Обозначим .

Тогда $S_{ABO}\cdot S_{COD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot ad\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot bc=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot db\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot ac=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$.

Следствие

В произвольной трапеции площади треугольников, на которые трапецию делят диагонали, удовлетворяют соотношению .

Доказательство

Рассмотрим трапецию в которой диагонали и пересекаются в точке .

По теореме .

Обозначим , .

Тогда, учитывая теорему, получим .