Следствие

Радиус окружности, описанной около треугольника удовлетворяет соотношению .

Доказательство

По теореме .

Кроме того , откуда .

Подставляя это выражение для в формулу для радиуса, получим или .

Теорема о радиусе окружности, вписанной в многоугольник

Радиус окружности, вписанной в многоугольник (в частности, в треугольник) удовлетворяет соотношению , где – площадь многоугольника, а – его полупериметр.

Доказательство

Рассмотрим -угольник , в который вписана окружность с центром и радиусом .

Соединим вершины многоугольника с центром окружности и получим треугольников, в каждом из которых высотой является радиус вписанной окружности.

Тогда

.

Теорема

Радиус окружности, вписанной в треугольник, и его высоты связаны соотношением .

Доказательство

Так как площадь треугольника равна полупроизведению высоты и стороны, к которой эта высота проведена, то можно выразить стороны следующим образом: $a=\dfrac{2S}{h_a}, b=\dfrac{2S}{h_b}, c=\dfrac{2S}{h_c}$.

Кроме того, так как , то .

Тогда, складывая первые три равенства, получим

или .