Характеристическое свойство коллинеарных векторов

Вектор коллинеарен ненулевому вектору тогда и только тогда, когда .

Доказательство

Если , то векторы и коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теперь докажем, что если , то найдется такое число , что .

Если , то .

Если же , то возможны два случая:

Первый случай

Пусть , тогда .

Действительно, вектор будет сонаправлен с , так как , кроме того .

Следовательно, .

Второй случай

Пусть .

Тогда аналогично первому случаю .

Следствие

Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число.

Доказательство

Рассмотрим вектора и .

Если точка лежит на прямой , то вектора и коллинеарны по определению, и, следовательно .

Обратно, если , то вектора и коллинеарны, а так как у них есть общая точка , то они лежат на одной прямой.