Теорема

Инцентр делит биссектрису треугольника в отношении , где и – стороны треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник со сторонами и , в котором проведены биссектрисы и .

Докажем, что точка пересечения биссектрис делит биссектрису в отношении .

По теореме о биссектрисе .

Тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей получаем

,

откуда .

Теорема

Если – точка касания со стороной окружности, вписанной в треугольник , то , где – полупериметр треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в который вписана окружность.

Пусть окружность касается сторон и в точках и соответственно.

Докажем, что .

Так как касательные к окружности, проведённые из одной точки равны, то можно обозначить .

Тогда .