Эллипс

Определение

Эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек и постоянна и при этом больше, чем .

Теорема

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , число называется большой полуосью эллипса, – малой полуосью, .

Доказательство

Пусть – это произвольная точка, принадлежащая данному эллипсу, а точки и – это его фокусы.

Тогда по определению эллипса сумма постоянна.

Пусть эта сумма равна , то есть .

Распишем это равенство с помощью формулы расстояния между двумя точками:

Возведём это равенство в квадрат, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

или

При условии, что , данное уравнение можно возвести в квадрат:

или

В левой части раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:

Сократив подобные слагаемые, перенеся все слагаемые в одну часть, и сократив на , получим:

Перегруппируем слагаемые:

Так как , то можно разделить последнее равенство на :

Обозначив , получим

Теперь докажем, что любая пара чисел , удовлетворяющая последнему равенству, удовлетворяет условию .

Преобразуем левую часть:

Из равенства \ref{eq010} следует, что , так как .

Аналогично .

Следовательно, , а значит, или

Следовательно,

Свойства канонического эллипса

Вершины эллипса имеют координаты и .

Фокусы канонической эллипса имеют координаты и , при этом и .

Эксцентриситетом эллипса называется число .

Теорема о касательной к эллипсу

Пусть точка – произвольная точка эллипса . Тогда уравнение касательной к эллипсу, проведенной в этой точке имеет вид .

Доказательство

По определению касательной к кривой в данной токе называется предельное положение секущей при условии, что точка стремится к точке по данной кривой.

Рассмотрим уравнение секущей к эллипсу, проходящей через точку и не совпадающую с ней точку .

Поскольку точка стремиться к точке , можно считать, что знаки их соответствующих координат совпадают (если одна из координат точки равна 0, то соответствующую координату точки будем брать с каким-либо определённым знаком).

Рассмотрим случай, когда абсциссы точек и неотрицательны.

Так как обе точки лежат на эллипсе , то их координаты можно записать в виде .

Запишем уравнение прямой :

Если точка стремиться к точке по эллипсу, то стремиться к .

Тогда последнее равенство можно записать в виде

Разделим это равенство на :

Учитывая, что , получаем:

Случай, когда абсциссы точек и отрицательны рассматривается аналогично, с той лишь разницей, что теперь координаты этих точек будут иметь вид .

Оптические свойство эллипса

Любой луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, отразившись от какой-либо точки эллипса, проходит через другой его фокус.

Доказательство

Пусть к данному эллипсу в точке проведена касательная.

Пусть – это произвольная точка этой касательной, отличная от точки . Очевидно, что точка лежит вне эллипса, следовательно, .

Таким образом минимум суммы достигается, если точка совпадает с точкой .

Тогда по теореме \ref{174.1} лучи и образуют одинаковые углы с касательной, что соответствует правилу отражения лучей света.