Гипербола

Определение

Гипербола – это геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и постоянен и при этом меньше, чем .

Теорема

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , число называется вещественной полуосью гиперболы, – мнимой полуосью.

Доказательство

Пусть – это произвольная точка, принадлежащая данной гиперболе, а точки и – это её фокусы (рис. \ref{pic159}).

Тогда по определению гиперболы постоянен.

Пусть этот модуль равен , то есть .

Распишем это равенство с помощью формулы расстояния между двумя точками:

Возведём это равенство в квадрат, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

или

При условии, что , данное уравнение можно возвести в квадрат:

или

В левой части раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:

Сократив подобные слагаемые, перенеся все слагаемые в одну часть, и сократив на , получим:

Перегруппируем слагаемые:

Так как , то можно разделить последнее равенство на :

Обозначив , получим

Теперь докажем, что любая пара чисел , удовлетворяющая последнему равенству, удовлетворяет условию .

Преобразуем левую часть:

Из равенства \ref{eq011} следует, что , так как .

Следовательно, , а значит,

или

Следовательно,

Свойства канонической гиперболы

Вершины гиперболы имеют координаты .

Каноническая гипербола имеет две асимптоты с уравнениями .

Фокусы канонической гиперболы имеют координаты и , при этом и .

Эксцентриситетом гиперболы называется число .

Теорема о касательной к гиперболе

Пусть точка – произвольная точка гиперболы . Тогда уравнение касательной к гиперболе, проведенной в этой точке имеет вид .

Доказательство

По определению касательной к кривой в данной токе называется предельное положение секущей при условии, что точка стремится к точке по данной кривой.

Рассмотрим уравнение секущей к эллипсу, проходящей через точку и не совпадающую с ней точку .

Поскольку точка стремится к точке , знаки их абсцисс совпадают.

Рассмотрим случай, когда абсциссы точек и положительны.

Так как обе точки лежат на гиперболе , то их координаты можно записать в виде .

Запишем уравнение прямой :

Если точка стремиться к точке по гиперболе, то стремиться к .

Тогда последнее равенство можно записать в виде

Разделим это равенство на :

Учитывая, что , получаем:

Случай, когда абсциссы точек и отрицательны рассматривается аналогично, с той лишь разницей, что теперь координаты этих точек будут иметь вид .

Лемма

Максимум модуля разности расстояний от точки данной прямой до точек и , лежащих по разные стороны от данной прямой достигается в такой точке , для которой лучи и образуют равные углы с прямой .

Доказательство

Обозначим через точку, симметричную относительно прямой .

Очевидно, что для любой точки на прямой .

Нам достаточно найти такую точку , что разность расстояний от до и будет как можно больше.

Из неравенства треугольника следует, что .

И достигается этот максимум тогда и только тогда, когда точки лежат на одной прямой.

Поскольку точки и симметричны, углы, которые образуют прямые и с прямой , равны.

Оптическое свойство гиперболы

Луч света, вышедший из фокуса , отразившись от какой-либо точки гиперболы, распространяется далее вдоль луча , то есть так, как если бы луч света исходил из фокуса и распространялся бы без помех.

Доказательство

Переформулируем утверждение: если прямая касается гиперболы в точке , то является биссектрисой угла , где и – фокусы гиперболы.

Предположим, что биссектриса угла пересекает гиперболу ещё в какой-нибудь точке (лежащей на той же дуге, что и ).

Для удобства будем считать, что точка лежит на дуге, которая ближе к фокусу .

Обозначим через точку, симметричную относительно . Тогда , ;

кроме того, точки и лежат на одной прямой.

Итак, . В силу вышеуказанных равенств получаем .

Но по неравенству треугольника .

Таким образом получено противоречие, что и доказывает утверждение теоремы.