Парабола

Определение

Парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки, не лежащей на этой прямой. Прямая называется директрисой, а точка – фокусом параболы.

Теорема

Каноническое уравнение параболы имеет вид . При этом уравнение директрисы , фокус .

Доказательство

Пусть точка – это фокус параболы, а прямая с уравнением – это её директриса.

Пусть точка – это произвольная точка параболы.

Тогда по определению .

Используя формулу расстояния между двумя точками, получим .

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, раскрыв скобки и сократив подобные слагаемые, получим .

Теорема о касательной к параболе

Пусть точка – произвольная точка параболы . Тогда уравнение касательной к параболе, проведенной в этой точке имеет вид .

Доказательство

По определению касательной к кривой в данной токе называется предельное положение секущей при условии, что точка стремится к точке по данной кривой.

Рассмотрим уравнение секущей к параболе, проходящей через точку и не совпадающую с ней точку (рис. \ref{pic154}).

Так как обе точки лежат на параболе , то их координаты можно записать в виде $M_0(\frac{y_0^2}{2p};y_0), M_1(\frac{y_1^2}{2p};y_1)$.

Запишем уравнение прямой : $\frac{x-x_0}{x_0-x_1}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1}, \frac{x-\frac{y_0^2}{2p}}{\frac{y_0^2}{2p}-\frac{y_1^2}{2p}}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1}, \frac{2px-y_0^2}{y_0^2-y_1^2}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1}, 2px-y_0^2=(y-y_0)(y_0+y_1)$.

Если точка стремиться к точке по параболе, то стремиться к .

Тогда последнее равенство можно записать в виде или . А так как , то получаем уравнение или .

Оптические свойства параболы

Любой луч света, исходящий из фокуса параболы, после отражения от параболы становится параллельным оси параболы.

Если источник света помещен в фокусе параболы, то фронт отраженной от параболы волны представляет собой отрезок, соединяющий две точки параболы и параллельный ее директрисе.

Доказательство

Рассмотрим каноническую параболу .

Пусть – это фокус параболы, а точка произвольная точка данной параболы.

Пусть луч света , отразившись от параболы переходит в луч . Кроме того, пусть – это точка пересечения оси с касательной к параболе, проведенной в точке .

По свойству отражения луча света .

Докажем, что треугольник – равнобедренный.

Так как ордината точки равна нулю, то из уравнения касательной легко найти, что абсцисса точки равна .

По формуле расстояния между двумя точками, имеем: .

Таким образом , следовательно, .

А так как эти углы являются соответственными, то прямые и параллельны.

Докажем второй пункт теоремы.

Необходимо доказать, что вне зависимости от выбора точки на параболе сумма расстояний от неё до фокуса и до выбранного фронта будет постоянна.

Пусть фронт волны изображается прямой .

Докажем, что для точек и будет выполнено .

По первому пункту теоремы лучи и параллельны оси параболы, следовательно, они перпендикулярны директрисе.

Тогда по определению параболы и .

Тогда .