Модуль функции и аргумента

Теорема 1

Чтобы из графика построить график , нужно ту часть графика, для которой , симметрично отобразить относительно оси наверх, а ту, для которой , оставить без изменений.

Доказательство

Пусть точка принадлежит графику , т.е. .

Возможны два случая.

Первый случай.

Пусть .

Тогда подстановкой легко проверить, что точка будет принадлежать и графику .

Действительно, .

Таким образом в этом случае точка осталась неподвижной.

Второй случай.

Пусть .

Тогда подстановкой легко проверить, что точка будет принадлежать и графику .

Действительно, .

Таким образом в этом случае точка перешла в точку , которая симметрична точке относительно оси и лежит в верхней полуплоскости.

Теорема 2

Чтобы из графика построить график , нужно ту, часть графика, для которой , стереть, а оставшуюся часть графика, для которой , скопировать симметрично относительно оси .

Доказательство

Пусть точка принадлежит графику , т.е. .

Возможны два случая.

Пусть .

Тогда подстановкой легко проверить, что точка будет принадлежать и графику .

Далее, поскольку функция четна (то есть ), то её график симметричен относительно оси , а значит ту часть графика, которая соответствует , нужно скопировать симметрично относительно оси .