Неравенство треугольника

Теорема

Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

014.jpg

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим произвольный треугольник .

Пусть .

Докажем, что .

Отложим на стороне отрезок , равный стороне .

Так как $A D

Следовательно, угол является частью угла и, значит, .

Угол – внешний угол треугольника , поэтому .

Углы и равны, как углы при основании равнобедренного треугольника .

Таким образом, .

Докажем второй пункт теоремы.

Пусть в треугольнике .

Докажем, что .

Предположим противное.

Тогда либо либо

В первом случае треугольник – равнобедренный и, значит, .

Во втором случае (против большей стороны лежит больший угол).

И то, и другое противоречит условию .

Поэтому предположение неверно, и, следовательно, .

Следствие

Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

Следствие

Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то перпендикуляр короче наклонных, а большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

015.jpg

Доказательство

Рассмотрим треугольник и докажем, что $AB

Первый способ.

Отложим на продолжении стороны отрезок , равный стороне .

В равнобедренном треугольнике , а в треугольнике и, значит, .

Тогда по теореме

Второй способ.

По теореме косинусов .

Здесь в первом неравенстве использовали то, что , а в последнем неравенстве использовали алгебраическое свойства модуля: .