Лемма

Пусть на сторонах и треугольника отмечены точки и соответственно. Тогда

Если , то ;

Если , то ;

Доказательство

Докажем первый пункт леммы.

Пусть .

Тогда .

Тогда треугольники и подобны по второму признаку подобия треугольников, так как – общий.

Следовательно, , а так как это соответственные углы при секущей , то $MN\parallel AC$.

Докажем второй пункт теоремы.

Так как , то , а поскольку – общий, то треугольники и подобны.

Тогда , откуда .

Следовательно, .

Обобщенная теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Доказательство

Пусть параллельные прямые пересекают прямые и в точках и соответственно.

Пусть при этом .

Докажем, что тогда .

Рассмотрим случай, когда прямые и параллельны.

Тогда и – параллелограммы, следовательно, и , и так как .

Рассмотрим случай, когда прямые и не параллельны.

Проведем через точку прямую , параллельную прямой .

Пусть прямые и прямая пересекаются в точках $C_2, C_3, C_4$.

По первому случаю , кроме того .

Тогда по второму пункту леммы .

Замечание

Следующее утверждение неверно:
пусть прямые пересекают прямые и в точках и соответственно. Тогда из того, что следует, что $l_1\parallel l_2\parallel l_3$.