Обобщенная теорема синусов

В треугольнике со сторонами , углами и радиусом описанной окружности выполняется соотношение .

Доказательство

Рассмотрим треугольник , около которого описана окружность с центром и радиусом .

Обозначим .

Докажем, что или .

Возможны три случая: когда угол прямой, острый или тупой.

Рассмотрим первый случай.

Пусть угол прямой.

Так как вписанный угол равный опирается на диаметр, то .

Но так как , то .

Рассмотрим второй случай.

Пусть угол – острый.

Проведем диаметр и рассмотрим треугольник .

Так как углы и опираются на одну и туже дугу , то .

Кроме того, угол опирается на диаметр, следовательно, .

Тогда из прямоугольного треугольника или .

Рассмотрим третий случай.

Пусть угол – тупой.

Проведем диаметр и рассмотрим треугольник .

Так как угол опирается на дугу , а угол опирается на дугу , то .

Кроме того, угол опирается на диаметр, следовательно, $\angle BCD=90^\circ$.

Тогда из прямоугольного треугольника получим или .