Теорема

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

Доказательство

Рассмотрим произвольный вписанный четырехугольник .

Углы и вписанные, поэтому .

Но так как , то .

Докажем обратное.

Пусть в произвольном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна :

Докажем, что такой четырёхугольник можно вписать в окружность.

Заметим, что – выпуклый, так как в противном случае один из его углов был бы больше .

Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: и .

Это возможно, так как около любого треугольника можно описать окружность.

Докажем, что эта окружность проходит через вершину .

Предположим, что это не так.

Тогда вершина лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай.

В этом случае можно продолжить стороны и до пересечения с окружностью (получим соответственно точки и ).

Тогда , и, следовательно, .

Так как , то .

Итак .

Но это противоречит условию и, значит, предположение ошибочно.

Рассмотрим второй случай.

Пусть вершина лежит вне круга.

Тогда прямые и являются либо секущими, либо касательными к данной окружности.

Пусть они пересекают окружность в точках и соответственно.

Пусть точка лежит на дуге , а точка на дуге (остальные случаи расположения точек и доказываются аналогично).

В этом случае , и, следовательно, .

Так как является вписанным, то .

Тогда .

Но это противоречит условию и, значит, предположение ошибочно.

Следствие

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим равнобедренную трапецию .

Докажем, что около неё можно описать окружность.

Действительно, так в равнобедренной трапеции , следовательно, , то есть сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна , и, следовательно, около неё можно описать окружность.

Докажем, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Рассмотрим трапецию , около которой можно описать окружность.

Тогда .

Кроме того .

Следовательно, , и, значит, трапеция равнобедренная.