Теорема

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Доказательство

Докажем, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Рассмотрим произвольный четырехугольник , в который вписана окружность.

Вспомним, что отрезки касательных, проведенных из одной точки равны.

Обозначим равные отрезки буквами и .

Тогда .

Докажем, что если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике выполнено равенство .

Точка пересечения биссектрис углов и равноудалена от сторон и , поэтому можно провести окружность с центром , касающуюся указанных трёх сторон.

Докажем, что эта окружность касается также стороны и, значит, является вписанной в четырёхугольник .

Предположим, что это не так.

Тогда прямая либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.

Рассмотрим первый случай.

Проведем касательную , параллельную стороне ( и – точки пересечения касательной со сторонами и ).

Так как – описанный четырёхугольника, то . Но , поэтому .

Таким образом , то есть в четырёхугольнике одна сторона равна сумме трех других сторон.

Но этого не может быть, и, значит, предположение неверно.

Рассмотрим второй случай.

Предположим, что прямая является секущей окружности.

Проведем касательную , параллельную стороне ( и – точки пересечения касательной со сторонами и ).

Так как – описанный четырёхугольника, то .

Но .

Тогда .

Вычитая это равенство из равенства получим или .

То есть в четырёхугольнике одна сторона равна сумме трех других сторон.

Но этого не может быть, и, значит, предположение неверно.

Следствие

В любой ромб можно вписать окружность.

Доказательство

Так как у ромба все стороны равны, то и суммы противоположных сторон равны, и, следовательно, в ромб можно вписать окружность.