Определение вектора

Отношение эквивалентности

Два объекта некоторого множества могут находиться друг с другом в некотором отношении. Примеры отношений: один треугольник подобен другому, одно число делится на другое, одна прямая параллельна другой.

Обозначим некоторое отношение символом «~».

Отношение «~» обладает свойством рефлексивности, если для любого элемента рассматриваемого множества будет выполнено ~.

Отношение «~» обладает свойством симметричности, если для каждой пары элементов и рассматриваемого множества из того, что ~ будет следовать ~.

Отношение «~» обладает свойством транзитивности, если для любых трёх элементов рассматриваемого множества из того, что ~ и ~, будет следовать, что ~.

Отношение, одновременно обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, называется отношением эквивалентности.

Классом эквивалентности элемента называется множество всех элементов, эквивалентных .

Замечание

Равенство направленных отрезков является отношением эквивалентности.

Определение

Величина, которая характеризуется своим численным значением, направлением и складывается по правилу треугольника, называется векторной величиной.

Определение

Вектор – это класс эквивалентности направленных отрезков, по отношению эквивалентности «равенство» (или проще: класс равных направленных отрезков).

Определение

Для любой точки , вектор называется ноль-вектором и обозначается .

Замечание

С нулевым вектором не связывают никакого направления в пространстве. Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору. Можно считать, что нулевой вектор одновременно параллелен и перпендикулярен любому вектору пространства.

Определение

Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки сонаправлены или противоположно направлены.

Определение

Вектора называются сонаправленными (противоположно направленными), если их направленные отрезки сонаправлены (противоположно направлены).

Определение

Модулем вектора называется число, равное длине отрезка . Иначе: модулем вектора называется длина направленного отрезка, изображающего этот вектор.