Общее определение

Косинус острого угла равен отношению проекции к наклонной.

Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним угла, взятого с другим знаком.

Косинус прямого угла равен нулю.

Косинус развернутого угла равен минус единице.

Корректность определения косинуса

Значение косинуса угла не зависит от того, какую длину наклонной выбрать.

Доказательство

Первый способ.

Следует из корректности определения синуса и теоремы Пифагора.

Второй способ.

Следует из подобия треугольников.

Свойства косинуса

Косинус любого угла не больше и не меньше .

.

При возрастании угла от до косинус убывает от 1 до -1.

Косинус однозначно определяет угол.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Первое свойство следует из того, что проекция меньше наклонной.

Докажем второй пункт теоремы.

Второе свойство следует из того, что углы и являются смежными.

Докажем третий пункт теоремы.

Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке и диаметром .

Пусть на прямой задана числовая ось с началом в точке и единичным отрезком .

Проведем радиус и получим угол некоторой величины .

Пусть точка является проекцией точки на прямую .

Тогда при и при .

Это означает, что равен координате точки на оси .

Когда возрастает до (то есть, когда точка пробегает полуокружность от точки до точки ), точка пробегает диаметр от точки до точки .

При этом координата точки , то есть , убывает от до .

Докажем четвертый пункт теоремы.

Пусть .

Докажем, что тогда .

Действительно, возможно три случая:

. Тогда по пункту 3 . Значит, этот случай не имеет места.

. Тогда по пункту 3 . Значит, этот случай не имеет места.

Следовательно, остаётся только третья возможность: .