Общее определение синуса

Синус острого угла равен отношению перпендикуляра к наклонной.

Синус тупого угла равен синусу смежного острого угла.

Синус прямого угла равен единице.

Синус развернутого угла равен нулю.

Корректность определения синуса

Пусть из точки , лежащей на стороне острого угла , опущен перпендикуляр на сторону этого угла. Тогда отношение перпендикуляра к наклонной не зависит от выбора точки .

Доказательство

Первый способ (не использует подобия).

На стороне выберем любую точку .

Выразим площадь треугольника двумя способами.

С одной стороны, , где .

C другой стороны, , где – высота треугольника и .

Поэтому или .

Если на стороне взять другую точку и повторить проведенные рассуждения, то снова получим, что , где .

Поэтому .

Отношение перпендикуляра к наклонной не зависит от того, на какую сторону угла опущен перпендикуляр.

Действительно, пусть, как и раньше, – точка на стороне угла и .

Вернемся к равенству

В правой части этого равенства стоит отношение перпендикуляра к наклонной, которое с выбором точки не связано.

Значит правая часть этого равенства от выбора точки не зависит.

Второй способ (использует подобие).

Если на стороне взять точки и и опустить из них перпендикуляры и к стороне угла , то треугольники и будут подобны по двум углам.

Следовательно, .

Отношение перпендикуляра к наклонной не зависит от того, на какую сторону угла опущен перпендикуляр.

Действительно, пусть, как и раньше, – точка на стороне угла и .

Треугольники и подобны по двум углам ( – общий).

Следовательно, , а отношение, стоящее в правой части этого равенства не зависит от выбора точки .

Теорема

Синусы углов, имеющих равные величины, равны.

Доказательство

Возьмем два равных острых угла: и .

Из некоторой точки на стороне угла опустим перпендикуляр на другую сторону угла .

Получим прямоугольный треугольник .

Отложим на сторонах угла отрезки и .

Тогда по первому признаку равенства.

Поэтому .

Итак – перпендикуляр, опущенный из точки одной стороны угла на другую его сторону.

Но тогда .