Отношение площадей треугольников с равными элементами

Теорема

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся, как основания.

Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся, как высоты, проведенные к этим основаниям.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся, как произведения сторон, заключающих равные углы.

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим треугольники и в которых высоты и равны.

Тогда $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{\frac{1}{2}BH\cdot AC}{\dfrac{1}{2}B_1H_1\cdot A_1C_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим треугольники и в которых основания и равны.

Тогда $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BH\cdot AC}{\dfrac{1}{2}B_1H_1\cdot A_1C_1}=\dfrac{BH}{B_1H_1}$.

Докажем третий пункт теоремы.

Рассмотрим треугольники и в которых углы и равны.

Докажем, что их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

Наложим треугольник на треугольник так, чтобы вершина совместилась с вершиной , а стороны и наложились соответственно на лучи и .

Треугольники и имеют общую высоту , поэтому .

Треугольники и имеют общую высоту , поэтому .

Перемножая полученные равенства, находим: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}$.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором проведена биссектриса .

Докажем, что .

Действительно, так как у треугольников и высота, проведенная из вершины , общая, то .

Кроме того у этих треугольников есть равные углы, следовательно их площади относятся, как произведения сторон: $S_{ABD}:S_{BDC}=\dfrac{AB\cdot BD}{BD\cdot BC}=\dfrac{AB}{BC}$.

Сравнивая полученные равенства для отношения площадей, получаем: .

Теорема об инцентре

Инцентр делит биссектрису в отношении

Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы

Рассмотрим треугольник , в котором проведены биссектрисы и .

Пусть .

Пусть пересекает в точке .

По теореме .

Тогда

Кроме того в треугольнике , – биссектриса.

Тогда .

Докажем второй пункт теоремы

Рассмотрим треугольник , в котором проведены биссектрисы , и .

Пусть .

Пусть , .

Тогда по теореме и .

А это означает, что точки и совпадают (так как они обе лежат на отрезке ).

Таким образом все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доптеоремы

О шести треугольниках и медианах

О боковых треугольниках трапеции

О произведении площадей в четырехугольнике с диагоналями и следствие для трапеции