Площади различных многоугольников

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольник со сторонами и .

Докажем, что его площадь .

Достроим прямоугольник до квадрата , продлив прямую за точку на отрезок , и прямую за точку на отрезок .

Тогда и – это квадраты, и их площади равны соответственно и .

Кроме того, – это прямоугольник со сторонами и , следовательно, его площадь равна площади .

Обозначим площадь за .

Тогда .

С другой стороны .

Откуда получаем, что , то есть .

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором и .

Докажем, что .

Достроим треугольник до прямоугольника .

Тогда .

Следовательно, .

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон и проведенной к ней высоты.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором – это высота.

Докажем, что

Возможны три случая:

точка совпадает с одним из концов отрезка , например с точкой ;

точка принадлежит отрезку и не совпадает с его концами;

точка лежит за пределами отрезка .

Первый случай

Пусть высота из точки падает в один из концов отрезка , например в вершину .

Тогда и – прямоугольный, следовательно, по теореме получаем .

Второй случай

Пусть высота падает внутрь отрезка .

Тогда высота разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника и , следовательно, $S_{ABC}=S_{ABH}+S_{BHC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AH+\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

Третий случай

Пусть высота падает вне отрезка , например за точку .

Тогда

$S_{ABC}=S_{ABH}-S_{BCH}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AH-\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot (AH-CH)=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм , в котором сторона и высота .

Докажем, что .

Проведем диагональ .

По свойствам параллелограмма, диагональ делит его на два равных треугольника.

Следовательно, .

Тогда .

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее оснований.

Доказательство

Рассмотрим трапецию , в которой – высота, и основания .

Докажем, что .

Проведем диагональ .

Тогда , , поскольку высоты этих треугольников, проведенные к сторонам и соответственно, равны высоте трапеции.

Тогда .

Площадь ромба

Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей.

Доказательство

Рассмотрим ромб , в котором диагонали и .

Докажем, что .

Пусть диагонали и пересекаются в точке .

Диагонали разбивают ромб на четыре равных треугольника $\triangle ABO, \triangle BCO, \triangle CDO, \triangle DAO$.

Следовательно, $S_{ABCD}=4S_{ABO}=4\cdot\dfrac{1}{2}\dfrac{d_1}{2}\dfrac{d_2}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot d_1d_2$.

Теорема (о площади четырехугольника с перпендикулярными диагоналями)

Площадь выпуклого четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна полупроизведению его диагоналей.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник в котором .

Пусть пересекает в точке .

Обозначим .

Тогда

Теорема (о площадях боковых треугольников в трапеции)

Два треугольника, образованные боковыми сторонами трапеции и отрезками ее диагоналей, равны по площади.

Доказательство

Рассмотрим трапецию , у которой диагонали и пересекаются в точке .

Докажем, что .

Рассмотрим треугольники и .

У этих треугольников общее основание , кроме того их высоты, проведенные к стороне из точек и соответственно, тоже равны.

Следовательно, .

Но тогда .