Движения

Определение

Преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением плоскости.

Свойства движений

Свойство 1

Движение обратимо. Преобразование, обратное движению, является движением.

Доказательство

Докажем сначала, что движение обратимо, то есть «не склеивает» точки.

Пусть и – две различные точки, образы которых при движении совпадают, то есть .

По определению движения .

С одной стороны, , так как по условию .

C другой стороны, в силу предположения.

Полученное противоречие доказывает обратимость движения .

Докажем теперь, что преобразование обратное движению, является движением.

Пусть – заданное движение, – обратное к нему преобразование, а и – две точки плоскости, являющиеся образами точек и .

По определению обратного преобразования , при этом и .

Следовательно, – движение.

Свойство 2

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, – в три точки не лежащие на одной прямой.

Доказательство

Пусть движение переводит точки в точки .

Тогда выполняются равенства

Если точки лежат на одной прямой, то одна из них, например точка лежит между двумя другими.

В этом случае и из равенств \eqref{eq012} следует, что .

А это равенство означает, что точка лежит между точками и .

Первое утверждение доказано.

Теперь пусть точки не лежат на одной прямой.

По неравенство треугольника .

Из этих неравенств следует, что .

Из этих неравенств следует, что точки не лежат на одной прямой.

Свойство 3

Отрезок движением переводится в отрезок. Движение сохраняет отношение «лежать между».

Доказательство

Пусть концам отрезка движение сопоставляет точки и .

Возьмём любую точку отрезка . Тогда, , и, следовательно, .

Тогда, точка лежит между точками и , то есть на отрезке .

Далее, каждая точка отрезка является образом некоторой точки отрезка , а именно той точки , которая удалена от точки на расстояние . Следовательно, отрезок движением переводится в отрезок .

Кроме того, эти рассуждения доказывают, что если точка лежит между точками и , то лежит между точками и , то есть движение сохраняет отношение «лежать между».

Свойство 4

При движении прямая переходит в прямую, луч переходит в луч.

Доказательство

Пусть и – произвольные точки данные прямой, – прямая, проведенная через образы точек и при движении .

Рассмотрим произвольную точку прямой .

Точки , где , лежат на одной прямой, то есть на прямой .

Аналогично в силу того, что – движение, для точки прямой существует точка прямой такая, что .

Поскольку при движении взаимное расположение точек сохраняется, то луч при движении переходит в луч.

Свойство 5

Треугольник движением переводится в треугольник.

Доказательство

Три точки , не лежащие на одной прямой, переходят при движении в точки соответственно, не лежащие на одной прямой.

Кроме того отрезки и переходят в отрезки и .

Таким образом, треугольник переходит в треугольник .

Причём .

Тогда по третьему признаку равенства треугольников .

Кроме того треугольник заполняется отрезками, соединяющими вершину с точками противоположной стороны .

Каждому отрезку это движение сопоставит отрезок , где точка лежит на отрезки .

Все эти отрезки заполнят треугольник .

Таким образом внутренность треугольника переходит во внутренность треугольника .

Свойство 6

Движение сохраняет величины углов.

Доказательство

Рассмотрим три точки не лежащие на одной прямой.

Она задают лучи и , являющиеся сторонами угла .

Пусть – соответственно образы рассматриваемых точек .

Докажем, что .

Действительно, так как треугольник является образом треугольника , то эти треугольники равны.

Следовательно, и углы этих треугольников соответственно равны, в частности, .

Свойство 7

При движении сохраняются площади многоугольных фигур (произвольных фигур).

Доказательство

Многоугольные фигуры составляются из треугольников, площади которых при движении сохраняются.

Следовательно, и площади многоугольных фигур сохраняются.

Для произвольных фигур утверждение следует из того, что произвольную фигуру можно приблизить многоугольной фигурой.

Определение

Две фигуры называются равными, если существует движение, переводящее одну из них в другую.