Признаки параллелограмма

Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим четырехугольник , в котором .

Докажем, что – параллелограмм.

Проведем диагональ .

Треугольники и равны по третьему признаку равенства, следовательно .

Но так как эти углы являются накрест лежащими при прямых и и секущей , то .

Аналогично , и следовательно .
А значит, – параллелограмм по определению.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим четырехугольник , в котором и $AB\parallel CD$.

Докажем, что тогда – параллелограмм.

Проведем диагональ .

Треугольники и равны по второму признаку равенства (, – общая, , как накрест лежащие).

Следовательно, .

Тогда – параллелограмм по первому пункту теоремы.

Докажем третий пункт теоремы.

Рассмотрим четырехугольник , в котором диагонали и пересекаются в точке , и при этом .

Докажем, что – параллелограмм.

Действительно, , как вертикальные, следовательно, по второму признаку равенства.

Тогда и , и, следовательно, – параллелограмм по первому пункту теоремы.

Докажем четвертый пункт теоремы.

Обозначим $\angle A=\angle C=\alpha, \angle B=\angle D=\beta$.

Так как сумма углов четырёхугольника равна , то , то есть .

Но тогда , и, так как это односторонние углы при прямых и и секущей , .

Аналогично, , то есть .

Таким образом – параллелограмм по определению.