Признаки равенства треугольников

Определение

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки.

Определение

Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.

Теорема

Пусть на прямой точка лежит между точками и . Если от лучей и в разные полуплоскости отложить лучи и соответственно так, чтобы , то точки $C, OD$ лежат на одной прямой.

Доказательство

Предположим противное.

Тогда продолжим луч за точку : получим луч

Тогда , как вертикальные, и от луча отложены два равных угла и , что противоречит аксиоме.

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники и , у которых $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, \angle A=\angle A_1$.

Докажем, что .

Так как , то согласно аксиоме треугольник можно наложить на треугольник так, что вершина совместиться с вершиной , а стороны и наложатся соответственно на лучи и .

В силу аксиомы, так как и , то стороны и , и совместиться.

В частности совместятся точки и , и .

Следовательно, по аксиоме совместятся и стороны и .

Итак, треугольники и полностью совместились.

Следовательно, согласно определению, они равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники и , у которых $AB=A_1B_1, \angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$.

Докажем, что .

Наложим треугольник на треугольник так, чтобы вершина совместилась с вершиной , сторона – с равной ей стороной , а вершины и оказались по одну сторону от прямой .

Так как и , то по сторона наложится на луч , а сторона – на луч .

Поэтому вершина – общая точка сторон и – окажется как лежащей на луче , так и на луче и, следовательно, совместиться с общей точкой этих лучей – вершиной .

Значит, совместятся стороны и , и .

Итак треугольники и полностью совместятся.

Следовательно, они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники и , у которых $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$.

Докажем, что .

Приложим треугольник к треугольнику так, чтобы вершина совместилась с вершиной , вершина – C вершиной , а вершины и оказались по разные стороны от прямой .

Возможны три случая:

луч проходит внутри угла

луч совпадает с одной из сторон этого угла

луч проходит вне угла .

Рассмотрим первый случай.

По условию теоремы , следовательно, треугольники и – равнобедренные.

По теореме , поэтому $\angle A_1CB_1=\angle A_1C_1B_1$.

Итак, .

Следовательно, треугольники и равны по первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим второй случай.

Пусть луч совпадает со стороной угла .

Тогда, так как , то треугольник равнобедренный, и ,следовательно, .

Тогда треугольники и равны по первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим третий случай.

Третий случай доказывается аналогично первому.