Пропорциональные отрезки в круге

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды, равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть в окружности хорды и пересекаются в точке .

Докажем, что .

Рассмотрим треугольники и .

В этих треугольниках , так как они вписанные.

Кроме того , как вертикальные.

Следовательно, по первому признаку подобия.

Отсюда , или .

Теорема о квадрате касательной

Если через точку проведена касательная ( – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках и , то .

Доказательство

Пусть из точки к окружности проведены касательная и секущая , пересекающая окружность в точке .

Докажем, что .

Обозначим .

Тогда .

Кроме того , как угол между касательной и хордой.

Тогда по первому признаку подобия (, – общий).

Тогда , или .

Теорема о произведении отрезков секущих

Если через точку проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках и , а другая – в точках и , то .

Доказательство

Пусть через точку проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках и , а другая – в точках и .

Докажем что .

Проведем из точки к данной окружности касательную .

По теореме и , откуда .

Определение

Пусть через точку проведена прямая, пересекающая данную окружность в точках и . Степенью точки относительно данной окружности называется произведение .

Теорема о степени точки

Степень точки относительно данной окружность не зависит от выбора прямой.

Доказательство

Эта теорема является прямым следствием предыдущих трёх теорем.