Прямоугольник

Определение

Прямоугольник - это параллелограмм с прямым углом.

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Замечание

Пункты 1 и 2 определения прямоугольника эквивалентны.

Доказательство

Действительно, если в параллелограмме есть один прямой угол, то все остальные его углы тоже прямые (так как противоположные стороны параллельны).

Обратно, если в четырехугольнике все углы прямые, то его противоположные стороны параллельны, и, следовательно, это параллелограмм.

Замечание

Прямоугольник наследует все свойства параллелограмма.

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольник . Докажем, что .

Поскольку прямоугольник – это частный случай параллелограмма ,то .

Тогда треугольники и равны по первому признаку (, – общая, ).

Следовательно, .

Следствие

Диагонали прямоугольника разбивают его на четыре равнобедренных треугольника.

Замечание

Полезно понимать следующую картинку про прямоугольник. (все равные углы, все равные отрезки).

Признак прямоугольника

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм , в котором .

Докажем, что этот параллелограмм – прямоугольник.

Действительно, треугольники и равны по третьему признаку (, , – общая).

Тогда . Но поскольку , то .

Теорема

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен .

Доказательство

Пусть прямая пересекает окружность в точке .

Тогда , так как это радиусы окружности.

Значит диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, а значит это параллелограмм.

Кроме того диагонали равны, а значит это прямоугольник, то есть .