Свойство

Гипотенуза прямоугольного треугольника вдвое больше медианы, проведенной из вершины прямого угла.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник , с прямым углом и медианой (тогда ).

Докажем, что .

Первый способ.

Предположим, что это не так.

Тогда , и, следовательно, .

Тогда выберем на гипотенузе такую точку , что (это возможно по аксиоме).

Тогда – равнобедренный.

Кроме того , то есть треугольник – равнобедренный, и .

Но тогда , то есть – середина гипотенузы , что невозможно.

Второй способ.

Достроим треугольник до прямоугольника .

Диагонали и равны и точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, .

Признак

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором – медиана, и .

Докажем, что тогда – прямоугольный.

Действительно, и – равнобедренные, следовательно, и .

Тогда .

Откуда получаем, что .