Признаки равенства прямоугольных треугольников

По двум катетам.

По гипотенузе и острому углу.

По катету и прилежащему острому углу.

По катету и гипотенузе.

Доказательство

Первый пункт теоремы верен, так как между катетами таких треугольников будут заключены равные между собой прямые углы, и треугольники будут равны по первому признаку равенства.

Второй и третий пункты теоремы верны, так как если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то их вторые острые углы тоже будут равны.

Тогда треугольники будут равны по второму признаку равенства.

Докажем четвертый пункт теоремы.

Первый способ.

Рассмотрим треугольники и , у которых .

Докажем, что .

Так как , то треугольник можно наложить на треугольник так, что вершина совместиться с вершиной , а стороны и наложатся на лучи и .

Поскольку , то вершина наложится на вершину .

Докажем, что вершина наложится на вершину .

Действительно, если предположить, что точка совместиться с некоторой точкой луча , то получится, что треугольник – равнобедренный, и, следовательно, .

Но это невозможно, так как – острый (как угол прямоугольного треугольника ), а – тупой ( как смежный с острым углом ).

Второй способ.

Рассмотрим треугольники и , у которых .

Докажем, что .

Действительно по теореме Пифагора .

Тогда треугольники и равны по третьему признаку равенства.